Système de Johnson

En statistique, le système de Johnson est une famille de fonctions conçues pour modéliser une loi de probabilités à partir de tirages aléatoires, définie par N. L. Johnson en 1949. Chacun des trois sous-types est caractérisé par quatre paramètres.

Utilisation

L'idée de Johnson est de trouver le modèle le plus adapté à partir des quatre premiers moments d'un échantillon (espérance, variance, asymétrie et kurtosis), en transformant la variable aléatoire X qu'on souhaite modéliser par la transformation :

$Z=\gamma +\delta h\left({\frac {X-\xi }{\lambda }}\right)$

où Z suit la loi normale standard. Les valeurs ξ et λ > 0 servent donc conjointement de paramètres de position et d'échelle, tandis que γ caractérise l'asymétrie et δ, la kurtosis.

Johnson propose trois transformations:

• une transformation bornée par la fonction logit, qu'il note S_B (pour bounded) :

$h(x)=\ln \left({\frac {x}{1-x}}\right)$

• une transformation par la fonction logarithme qu'il note S_L (pour log-normal) :

$h(x)=\ln(x)$

• une transformation par la fonction sinus hyperbolique non bornée qu'il note S_U (pour unbounded) :

$h(x)=\sinh(x)$

La loi normale est parfois incluse dans le système de Johnson, notée S_N.

Distribution de Johnson

Support borné : lois S_B

Système de Johnson
Paramètres	$\gamma ,\xi ,\delta >0,\lambda >0$ (réel)
Support	$]\xi ,\xi +\lambda [$
Densité de probabilité	${\tfrac {\delta \lambda }{{\sqrt {2\pi }}(x-\xi )(\xi +\lambda -x)}}\exp \left[-{\tfrac {1}{2}}\left(\gamma +\delta \ln \left({\tfrac {x-\xi }{\lambda +\xi -x}}\right)\right)^{2}\right]$
Fonction de répartition	$\Phi \left(\gamma +\delta \ln \left({\tfrac {x-\xi }{\lambda +\xi -x}}\right)\right)$
Médiane	${\frac {\xi +\exp \left(-{\tfrac {\gamma }{\delta }}\right)(\lambda +\xi )}{1+\exp \left(-{\tfrac {\gamma }{\delta }}\right)}}$

N. L. Johnson a d'abord proposé la transformation:

$z=\gamma +\delta \ln \left({\frac {\frac {x-\xi }{\lambda }}{1-{\frac {x-\xi }{\lambda }}}}\right)$

où $z\sim {\mathcal {N}}(0,1)$.

La loi S_B de Johnson peut être générée à partir d'une variable aléatoire suivant une loi uniforme continue U par :

$y=\xi +{\frac {\lambda }{1+{\rm {e}}^{-\left(z-\gamma \right)/\delta }}}.$

On reconnait la forme d'une fonction logistique.

Version bivariée : lois S_BB

Johnson a étendu la loi S_B en une version bivariée, notée S_BB. La densité de la loi est

$f(z_{1},z_{2},\rho )={\frac {1}{2\pi {\sqrt {1-\rho ^{2}}}}}\exp \left(-{\frac {1}{2}}{\frac {z_{1}^{2}-2z_{1}z_{2}+z_{2}^{2}}{1-\rho ^{2}}}\right).$

où z₁ et z₂ suivent chacun une loi S_B, et ${\textstyle \rho =\mathbb {E} (Z_{1}Z_{2})}$ la mesure de dépendance entre les deux variables.

Support semi-infini : lois S_L

Système de Johnson
Paramètres	$\gamma ,\xi ,\delta >0,\lambda >0$ (réel)
Support	$]\xi ,+\infty [$
Densité de probabilité	${\tfrac {\delta \lambda }{{\sqrt {2\pi }}(x-\xi )}}\exp \left[-{\tfrac {1}{2}}\left(\gamma +\delta \ln \left({\tfrac {x-\xi }{\lambda }}\right)\right)^{2}\right]$
Fonction de répartition	$\Phi \left(\gamma +\delta \ln \left({\frac {x-\xi }{\lambda }}\right)\right)$
Espérance	$\xi +\exp \left({\tfrac {1-2\gamma \delta }{2\delta ^{2}}}\right)$
Médiane	$\xi +\lambda \exp \left(-{\frac {\gamma }{\delta }}\right)$
Variance	$\exp \left({\tfrac {2(1-\gamma \delta )}{\delta ^{2}}}\right)$
Asymétrie	$\exp \left({\tfrac {3(3-\gamma \delta )}{\delta ^{2}}}\right)$

N. L. Johnson a d'abord proposé la transformation:

$z=\gamma +\delta \ln \left({\frac {x-\xi }{\lambda }}\right)$

où $z\sim {\mathcal {N}}(0,1)$.

La loi S_L de Johnson peut être générée à partir d'une variable aléatoire suivant une loi uniforme continue U par :

$y=\lambda {\rm {e}}^{-\left(z-\gamma \right)/\delta }+\xi .$

La loi S_B convient pour modéliser les lois platikurtiques.

Support infini : lois S_U

Système de Johnson
Densité de probabilité
Fonction de répartition
Paramètres	$\gamma ,\xi ,\delta >0,\lambda >0$ (réel)
Support	$-\infty {\text{ vers }}+\infty$
Densité de probabilité	${\frac {\delta }{\lambda {\sqrt {2\pi }}{\sqrt {1+\left({\tfrac {x-\xi }{\lambda }}\right)^{2}}}}}\exp \left(-{\tfrac {1}{2}}\left(\gamma +\delta \operatorname {arsinh} \left({\tfrac {x-\xi }{\lambda }}\right)\right)^{2}\right)$
Fonction de répartition	$\Phi \left(\gamma +\delta \operatorname {arsinh} \left({\frac {x-\xi }{\lambda }}\right)\right)$
Espérance	$\xi -\lambda \exp \left({\tfrac {1}{2\delta ^{2}}}\right)\sinh \left({\frac {\gamma }{\delta }}\right)$
Médiane	$\xi +\lambda \sinh \left(-{\frac {\gamma }{\delta }}\right)$
Variance	$\mathrm {Var} (X)={\frac {\lambda ^{2}}{2}}\left[\exp \left({\tfrac {1}{\delta ^{2}}}\right)-1\right]\left(\exp \left({\tfrac {1}{\delta ^{2}}}\right)\cosh \left({\tfrac {2\gamma }{\delta }}\right)+1\right)$
Asymétrie	$-{\frac {\lambda ^{3}\exp({\tfrac {1}{2\delta ^{2}}})\left(\exp({\tfrac {1}{\delta ^{2}}})-1\right)^{2}\left[\exp({\tfrac {1}{\delta ^{2}}})\left(\exp({\tfrac {1}{\delta ^{2}}})+2\right)\sinh({\tfrac {3\gamma }{\delta }})+3\sinh({\tfrac {2\gamma }{\delta }})\right]}{4\mathrm {Var} (X)^{3/2}}}$
Kurtosis normalisé	${\frac {\lambda ^{4}\left(\exp \left({\tfrac {1}{\delta ^{2}}}\right)-1\right)^{2}(K_{1}+K_{2}+K_{3})}{8\mathrm {Var} (X)^{2}}}$ $K_{1}=\exp \left({\tfrac {2}{\delta ^{2}}}\right)\left[\exp \left({\tfrac {4}{\delta ^{2}}}\right)+2\exp \left({\tfrac {3}{\delta ^{2}}}\right)+3\exp \left({\tfrac {2}{\delta ^{2}}}\right)-3\right]\cosh \left({\tfrac {4\gamma }{\delta }}\right)$ $K_{2}=4\exp \left({\tfrac {2}{\delta ^{2}}}\right)\left(\exp \left({\tfrac {1}{\delta ^{2}}}\right)+2\right)\cosh \left({\tfrac {3\gamma }{\delta }}\right)$ $K_{3}=3\left(2\exp \left({\tfrac {1}{\delta ^{2}}}\right)+1\right)$

Les lois S_U de Johnson se basent sur la transformation de la loi normale suivante:

$z=\gamma +\delta \operatorname {arsinh} \left({\frac {x-\xi }{\lambda }}\right)$

où $z\sim {\mathcal {N}}(0,1)$.

La loi S_U de Johnson peut être générée à partir d'une variable aléatoire suivant une loi uniforme continue U par :

$y=\lambda \sinh \left(\left(z-\gamma \right)/\delta \right)+\xi .$

Identification du type

Afin d'identifier le type de lois de Johnson à partir du tirage, il y a plusieurs méthodes, la plus simple étant la méthode des moments qui se base surtout sur les moments d'ordre 3 et 4. Par exemple, pour une loi S_L, ces moments valent:

$\beta _{1}={\frac {\mu _{3}^{2}}{\mu _{2}^{3}}}=({\rm {e}}^{\delta ^{-2}}-1)({\rm {e}}^{\delta ^{-2}}+2)^{2},\beta _{2}={\frac {\mu _{4}}{\mu _{2}^{2}}}={\rm {e}}^{4\delta ^{-2}}+2{\rm {e}}^{3\delta ^{-2}}+3{\rm {e}}^{2\delta ^{-2}}-3.$

Ainsi, toute loi de Johnson vérifie $\beta _{2}-\beta _{1}-1\geqslant 0$.

D'autres moyens ont été développés, reposant sur la méthode d'adaptation des quantiles, la méthode des moindres carrés, ou des estimateurs statistiques.

Génération de variables aléatoires

Pour générer des tirages aléatoires suivant une loi de Johnson, on peut méthode de la transformée inverse : soit U une variable aléatoire uniforme continue sur l'intervalle unité [0; 1]. Les lois de Johnson peuvent alors être simulées par :

$X=\lambda h\left({\frac {\Phi ^{-1}(U)-\gamma }{\delta }}\right)+\xi$

où Φ est la fonction de répartition de la loi normale, et h étant la fonction liée à la famille de lois voulue (ln (x/(1 – x)) pour une loi S_B, ln (x) pour une loi S_L, sinh (x) pour une loi S_B).

Applications

Les lois S_U de Johnson ont été utilisées pour modéliser des rendements des actifs pour la gestion de portefeuille, mais aussi la tarification d'options, et estimer un sourire de volatilité (en) ; voir arbre binomial de Johnson.

Une alternative au système de Johnson est le système de lois paramétrées par les quantiles (quantile-parameterized distributions), plus souple pour l'adaptation de forme. Au lieu d'adapter les paramètres aux moments, le système de lois paramétrées par les quantiles vise à adapter la fonction de densité par moindres carrés.

Références

• (en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Johnson's_SU-distribution » (voir la liste des auteurs).

Sources

• (en) I. D. Hill, R. Hill et R. L. Holder, « Algorithm AS 99: Fitting Johnson Curves by Moments », Journal of the Royal Statistical Society. Series C (Applied Statistics), vol. 25, n^o 2,‎ 1976
• (en) M.C. Jones et A. Pewsey, « Sinh-arcsinh distributions », Biometrika, vol. 96, n^o 4,‎ 2009, p. 761 (DOI 10.1093/biomet/asp053, lire en ligne)(Preprint)
• (en) Hans J. H. Tuenter, « An algorithm to determine the parameters of S_U-curves in the Johnson system of probability distributions by moment matching », The Journal of Statistical Computation and Simulation, vol. 70, n^o 4,‎ novembre 2001, p. 325–347 (DOI 10.1080/00949650108812126)
• (en) G.J. Hahn et S.S. Shapiro, Statistical Models in Engineering, New York, John Wiley & Sons, 1967.
• (en) N.L. Johnson, « Systems of frequency curves generated by methods of translation », Biometrika, vol. 36, n^o 1--2,‎ 1949, p. 149-176 (DOI 10.1093/biomet/36.1-2.149).
• (en) N.L. Johnson et S. Kotzeds, Encyclopedia of Statistical Sciences, New York, John Wiley & Sons, 1983, p. 303-314.
• (en) Paul Keller, Statistical Process Control Demystified, New York McGraw-Hill, 2011.
• (en) Thomas Pyzdek, « Process Capability Analysis using Personal Computers », Quality Engineering, vol. 4.3,‎ 1992, p. 419-440.

Voir aussi

• Ajustement de loi de probabilité
• Fonction de Pearson
• Système de Burr