Distribution de Bingham

En statistique, on appelle distribution de Bingham, d'après Christopher Bingham, une distribution de probabilité à symétrie antipodale définie sur la n-sphère^[1] . C'est une généralisation de la distribution de Watson et un cas particulier des distributions de Kent et de Fisher-Bingham.

La distribution de Bingham est largement utilisée pour l'analyse des données paléomagnétiques^[2], et a été signalée comme étant utilisée dans le domaine de la vision par ordinateur^[3]^,^[4]^,^[5] .

Sa fonction de densité de probabilité est donnée par

f(\mathbf {x} \,;\,M,Z)\;dS^{n-1}\;=\;{}_{1}F_{1}({\textstyle {\frac {1}{2}}};{\textstyle {\frac {n}{2}}};Z)^{-1}\;\cdot \;\exp \left({{\textrm {tr}}\;ZM^{T}\mathbf {x} \mathbf {x} ^{T}M}\right)\;dS^{n-1}

qui peut aussi être écrit

f(\mathbf {x} \,;\,M,Z)\;dS^{n-1}\;=\;{}_{1}F_{1}({\textstyle {\frac {1}{2}}};{\textstyle {\frac {n}{2}}};Z)^{-1}\;\cdot \;\exp \left({\mathbf {x} ^{T}MZM^{T}\mathbf {x} }\right)\;dS^{n-1}

où x est un axe (c'est-à-dire un vecteur unitaire), M est une matrice d'orientation orthogonale, Z est une matrice de concentration diagonale, et ${}_{1}F_{1}(\cdot ;\cdot ,\cdot )$ est une fonction hypergéométrique d'argument matriciel . Les matrices M et Z sont le résultat de la diagonalisation de la matrice de covariance définie positive de la distribution gaussienne, à la base de la distribution de Bingham.

Voir également[modifier | modifier le code]

Notes et références[modifier | modifier le code]

↑ Bingham, Ch. (1974) "An antipodally symmetric distribution on the sphere". Annals of Statistics, 2(6):1201–1225.
↑ Onstott, T.C. (1980) "Application of the Bingham distribution function in paleomagnetic studies". Journal of Geophysical Research, 85:1500–1510.
↑ S. Teller and M. Antone (2000). Automatic recovery of camera positions in Urban Scenes
↑ Tom S. F. Haines et Richard C. Wilson, Computer Vision – ECCV 2008, vol. 5304, Springer, coll. « Lecture Notes in Computer Science », 2008, 780–791 p. (ISBN 978-3-540-88689-1, DOI 10.1007/978-3-540-88690-7_58, lire en ligne)
↑ « Better robot vision: A neglected statistical tool could help robots better understand the objects in the world around them. », MIT News, 7 octobre 2013 (consulté le 7 octobre 2013)

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[1] Bingham, Ch. (1974) "An antipodally symmetric distribution on the sphere". Annals of Statistics, 2(6):1201–1225.

[2] Onstott, T.C. (1980) "Application of the Bingham distribution function in paleomagnetic studies". Journal of Geophysical Research, 85:1500–1510.

[3] S. Teller and M. Antone (2000). Automatic recovery of camera positions in Urban Scenes

[4] Tom S. F. Haines et Richard C. Wilson, Computer Vision – ECCV 2008, vol. 5304, Springer, coll. « Lecture Notes in Computer Science », 2008, 780–791 p. (ISBN 978-3-540-88689-1, DOI 10.1007/978-3-540-88690-7_58, lire en ligne)

[5] « Better robot vision: A neglected statistical tool could help robots better understand the objects in the world around them. », MIT News, 7 octobre 2013 (consulté le 7 octobre 2013)

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