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Loi demi-logistique
Densité de probabilité
Fonction de répartition
Paramètres
μ
∈
R
{\displaystyle \mu \in \mathbb {R} }
σ
>
0
{\displaystyle \sigma >0}
Support
x
∈
]
μ
;
∞
[
{\displaystyle x\in ]\mu ;\infty [}
Densité de probabilité
2
exp
(
x
−
μ
σ
)
σ
(
1
+
exp
(
x
−
μ
σ
)
)
2
{\displaystyle {\frac {2\exp({\frac {x-\mu }{\sigma }})}{\sigma \left(1+\exp({\frac {x-\mu }{\sigma }})\right)^{2}}}}
Fonction de répartition
exp
(
x
−
μ
σ
)
−
1
exp
(
x
−
μ
σ
)
+
1
{\displaystyle {\frac {\exp({\frac {x-\mu }{\sigma }})-1}{\exp({\frac {x-\mu }{\sigma }})+1}}}
Espérance
ln
(
4
)
{\displaystyle \ln(4)}
Médiane
ln
(
3
)
{\displaystyle \ln(3)}
Mode
μ
{\displaystyle \mu }
Variance
π
2
/
3
−
(
ln
(
4
)
)
2
{\displaystyle \pi ^{2}/3-(\ln(4))^{2}}
modifier
En théorie des probabilités et en statistique , la loi demi-logistique est une loi de probabilité continue de la valeur absolue d'une variable aléatoire de loi logistique . Si Y est une variable aléatoire de loi logistique, alors
X
=
|
Y
|
{\displaystyle X=|Y|\!}
est de loi demi-logistique. Cette loi dépend alors des deux mêmes paramètres que la loi logistique :
μ
∈
R
{\textstyle \mu \in \mathbb {R} }
σ
>
0
{\textstyle \sigma >0}
X
∼
1
2
log
(
μ
,
σ
)
{\displaystyle X\sim {\frac {1}{2}}\log(\mu ,\sigma )}
Caractéristique Densité de probabiltié La densité de probabilité de la loi demi-logistique est donnée par :
f
X
(
x
)
=
{
2
exp
(
x
−
μ
σ
)
σ
(
1
+
exp
(
x
−
μ
σ
)
)
2
si
x
>
μ
0
sinon.
{\displaystyle f_{X}(x)={\begin{cases}{\frac {2\exp({\frac {x-\mu }{\sigma }})}{\sigma \left(1+\exp({\frac {x-\mu }{\sigma }})\right)^{2}}}&{\text{ si }}x>\mu \\0&{\text{ sinon.}}\end{cases}}}
Dans le cas centré réduit, c'est-à-dire
μ
=
0
{\displaystyle \mu =0}
σ
=
1
{\displaystyle \sigma =1}
f
X
(
x
)
=
{
2
e
x
(
1
+
e
x
)
2
si
x
>
0
0
sinon.
{\displaystyle f_{X}(x)={\begin{cases}{\frac {2\mathrm {e} ^{x}}{(1+\mathrm {e} ^{x})^{2}}}&{\text{ si }}x>0\\0&{\text{ sinon.}}\end{cases}}}
Fonction de répartition La fonction de répartition de la loi demi-logistique est:
F
X
(
x
)
=
{
exp
(
x
−
μ
σ
)
−
1
exp
(
x
−
μ
σ
)
+
1
si
x
>
μ
0
sinon.
{\displaystyle F_{X}(x)={\begin{cases}{\frac {\exp({\frac {x-\mu }{\sigma }})-1}{\exp({\frac {x-\mu }{\sigma }})+1}}&{\text{ si }}x>\mu \\0&{\text{ sinon.}}\end{cases}}}
et pour le cas centré réduit :
F
X
(
x
)
=
{
e
x
−
1
e
x
+
1
si
x
>
0
0
sinon.
{\displaystyle F_{X}(x)={\begin{cases}{\frac {\mathrm {e} ^{x}-1}{\mathrm {e} ^{x}+1}}&{\text{ si }}x>0\\0&{\text{ sinon.}}\end{cases}}}
En particulier,
F
X
(
x
)
=
2
f
X
(
x
)
−
1
{\textstyle F_{X}(x)=2f_{X}(x)-1}
Liens avec d'autres lois
ln
(
e
X
+
1
e
X
−
1
)
∼
1
2
log
(
0
,
1
)
{\displaystyle \ln \left({\frac {\mathrm {e} ^{X}+1}{\mathrm {e} ^{X}-1}}\right)\sim {\frac {1}{2}}\log(0,1)}
X
∼
E
(
1
)
{\displaystyle X\sim {\mathcal {E}}(1)}
loi exponentielle ).
ln
(
X
−
1
)
∼
1
2
log
(
0
,
1
)
{\displaystyle \ln \left(X-1\right)\sim {\frac {1}{2}}\log(0,1)}
X
∼
Pareto
(
1
,
2
)
{\displaystyle X\sim \operatorname {Pareto} (1,2)}
Distribution de Pareto ).Si
X
∼
U
(
0
,
1
)
{\displaystyle X\sim U(0,1)}
loi uniforme continue ), alors
ln
(
2
−
X
X
)
∼
1
2
log
(
0
,
1
)
{\displaystyle \ln \left({\frac {2-X}{X}}\right)\sim {\frac {1}{2}}\log(0,1)}
Références (en) George Olusengun , Meenakshi Devidas, Handbook of the Logistic Distribution , New York, Marcel Dekker, Inc., 1992 , 232–234 p. (ISBN 0-8247-8587-8 , « Some Related Distributions » (en) A.K. Olapade , « On Characterizations of the Half-Logistic Distribution », InterStat no 2, février 2003 (lire en ligne ) 
![{\displaystyle x\in ]\mu ;\infty [}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/69f04883c0df2028db0842987f32a49dbf5b8437)
