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Loi de Tukey-lambda
Paramètres
λ
∈
R
{\displaystyle \lambda \in \mathbb {R} }
paramètre de forme
Support
{
x
∈
[
−
1
λ
,
1
λ
]
pour
λ
>
0
x
∈
R
pour
λ
<
0
{\displaystyle {\begin{cases}x\in [{\frac {-1}{\lambda }},{\frac {1}{\lambda }}]&{\text{ pour }}\lambda >0\\x\in \mathbb {R} &{\text{ pour }}\lambda <0\end{cases}}}
Densité de probabilité
donnée par les quantiles :
(
Q
(
p
;
λ
)
,
Q
′
(
p
;
λ
)
−
1
)
,
0
≤
p
≤
1
{\displaystyle (Q(p;\lambda )\,,Q'(p;\lambda )^{-1}),\,0\leq \,p\,\leq \,1}
Fonction de répartition
(
e
−
x
+
1
)
−
1
,
pour
λ
=
0
{\displaystyle ({\rm {e}}^{-x}+1)^{-1},{\text{ pour }}\lambda =0}
Espérance
0
pour
λ
>
−
1
{\displaystyle 0{\text{ pour }}\lambda >-1}
Médiane
0
Mode
0
Variance
{
2
λ
2
(
1
1
+
2
λ
−
Γ
(
λ
+
1
)
2
Γ
(
2
λ
+
2
)
)
si
λ
>
−
1
/
2
π
2
3
si
λ
=
0
{\textstyle {\begin{cases}{\frac {2}{\lambda ^{2}}}\left({\frac {1}{1+2\lambda }}-{\frac {\Gamma (\lambda +1)^{2}}{\Gamma (2\lambda +2)}}\right)&{\text{ si }}\lambda >-1/2\\{\frac {\pi ^{2}}{3}}&{\text{ si }}\lambda =0\end{cases}}}
Asymétrie
0
pour
λ
>
−
1
/
3
{\displaystyle 0{\text{ pour }}\lambda >-1/3}
Kurtosis normalisé
(
2
λ
+
1
)
2
2
(
4
λ
+
1
)
g
2
2
(
3
g
2
2
−
4
g
1
g
3
+
g
4
)
g
4
(
g
1
2
−
g
2
)
2
−
3
,
{\textstyle {\frac {(2\lambda +1)^{2}}{2(4\lambda +1)}}{\frac {g_{2}^{2}\left(3g_{2}^{2}-4g_{1}g_{3}+g_{4}\right)}{g_{4}\left(g_{1}^{2}-g_{2}\right)^{2}}}-3,}
où
g
k
=
Γ
(
k
λ
+
1
)
{\textstyle g_{k}=\Gamma (k\lambda +1)}
et
λ
>
−
1
/
4
{\textstyle \lambda >-1/4}
.
Entropie
∫
0
1
log
(
Q
′
(
p
;
λ
)
)
d
p
{\displaystyle \int _{0}^{1}\log(Q'(p;\lambda ))\,{\rm {d}}p}
[ 1]
Fonction caractéristique
∫
0
1
exp
(
i
t
Q
(
p
;
λ
)
)
d
p
{\displaystyle \int _{0}^{1}\exp(\,{\rm {i}}t\,Q(p;\lambda ))\,{\rm {d}}p}
[ 2]
modifier
En théorie des probabilités et en statistique , la loi de Tukey-lambda est une loi de probabilité à support compact ou infini, en fonction de la valeur de son paramètre. Cette loi est à densité, cependant sa densité ne possède pas d'expression analytique. La loi est alors définie par ses quantiles .
Différents paramétrages
La loi de Tukey -lambda est connue de façon implicite par la distribution de ses quantiles [ 3] :
G
(
p
)
≡
F
−
1
(
p
)
=
{
[
p
λ
−
(
1
−
p
)
λ
]
/
λ
,
si
λ
≠
0
logit
(
p
)
,
si
λ
=
0
{\displaystyle G(p)\equiv F^{-1}(p)={\begin{cases}\left[p^{\lambda }-(1-p)^{\lambda }\right]/\lambda ,&{\mbox{si }}\lambda \neq 0\\\operatorname {logit} (p),&{\mbox{si }}\lambda =0\end{cases}}}
avec la fonction logit .
Le paramètre
λ
{\displaystyle \lambda }
est un paramètre de forme , comme le résume le tableau suivant.
La densité et la fonction de répartition de cette loi doivent être approchées numériquement. Cette loi a par la suite été généralisée.
Lois de Tukey-lambda généralisées
La version de Ramberg et Schmeiser[ 4]
G
(
p
)
=
λ
1
+
p
λ
3
−
(
1
−
p
)
λ
4
λ
2
{\displaystyle G(p)=\lambda _{1}+{p^{\lambda _{3}}-(1-p)^{\lambda _{4}} \over \lambda _{2}}}
La version de Freimer, Mudholkar, Kollia et Lin[ 5]
G
(
p
)
=
λ
1
+
p
λ
3
λ
3
−
(
1
−
p
)
λ
4
λ
4
λ
2
{\displaystyle G(p)=\lambda _{1}+{{{\frac {p^{\lambda _{3}}}{\lambda _{3}}}-{\frac {(1-p)^{\lambda _{4}}}{\lambda _{4}}}} \over \lambda _{2}}}
Notes et références
↑ (en) Oldrich Vasicek , « A Test for Normality Based on Sample Entropy », Journal of the Royal Statistical Society, Series B (Methodological) , vol. 38, no 1, 1976 , p. 54-59
↑ (en) W. T. Shaw et J. McCabe , « Monte Carlo sampling given a Characteristic Function: Quantile Mechanics in Momentum Space », Eprint-arXiv:0903,1592 , 2009
↑ (en) C. Hastings, F. Mosteller, J.W. Tukey et C.P. Winsor, « Low moments for small samples: a comparative study of order statistics », Ann. Math. Statist , vol. 18, 1947 , p. 413-426
↑ (en) John S. Ramberg et Bruce W. Schmeiser, « An approximate method for generating symmetric random variables », Communications of the ACM , vol. 15, no 11, 1972 , p. 987-990
↑ (en) M. Freimer, G.S. Mudholkar, G. Kollia et G.T. Lin, « A study of the generalized tukey lambda family », Communications in Statistics-Theory and Methods , 1988
Liens externes