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Loi de Bates
Densité de probabilité
Paramètres
−
∞
<
a
<
b
<
∞
{\displaystyle -\infty <a<b<\infty \,}
n >1 réel
Support
x
∈
[
a
,
b
]
{\displaystyle x\in [a,b]}
Densité de probabilité
n
n
(
n
−
1
)
!
∑
k
=
0
⌊
n
x
⌋
(
−
1
)
k
(
n
k
)
(
x
−
k
n
)
n
−
1
{\displaystyle {\frac {n^{n}}{\left(n-1\right)!}}\sum _{k=0}^{\lfloor nx\rfloor }\left(-1\right)^{k}{n \choose k}\left(x-{\frac {k}{n}}\right)^{n-1}}
pour
x
∈
]
0
;
1
[
{\displaystyle x\in ]0;1[}
Espérance
1
2
(
a
+
b
)
{\displaystyle {\tfrac {1}{2}}(a+b)}
Variance
1
12
n
(
b
−
a
)
2
{\displaystyle {\tfrac {1}{12n}}(b-a)^{2}}
Asymétrie
0
Kurtosis normalisé
−
6
5
n
{\displaystyle -{\tfrac {6}{5n}}}
Fonction caractéristique
[
−
i
n
(
e
i
b
t
n
−
e
i
a
t
n
)
(
b
−
a
)
t
]
n
{\displaystyle \left[-{\frac {\mathrm {i} n\left(\mathrm {e} ^{\tfrac {ibt}{n}}-\mathrm {e} ^{\tfrac {\mathrm {i} at}{n}}\right)}{(b-a)t}}\right]^{n}}
modifier
En théorie des probabilités et en statistique , la loi de Bates , dénommée suivant la probabiliste Grace E. Bates , est la loi de probabilité de la moyenne de variables aléatoires indépendantes et de loi uniforme continue sur [0 ; 1] [ 1] .
Il ne faut pas confondre cette loi avec la loi d'Irwin-Hall qui est la somme de telles variables aléatoires.
Définition
La loi de Bates est la loi de probabilité de la moyenne arithmétique de n variables aléatoires U 1 , U 2 , ... , Un iid de loi uniforme continue sur l'intervalle [0 ; 1] :
X
=
1
n
∑
k
=
1
n
U
k
.
{\displaystyle X={\frac {1}{n}}\sum _{k=1}^{n}U_{k}.}
La densité de probabilité de la loi de Bates est donnée par la formule suivante[ 2] :
f
X
(
x
;
n
)
=
{
n
n
(
n
−
1
)
!
∑
k
=
0
⌊
n
x
⌋
(
−
1
)
k
(
n
k
)
(
x
−
k
n
)
n
−
1
pour
x
∈
]
0
,
1
[
0
sinon.
{\displaystyle f_{X}(x;n)={\begin{cases}\displaystyle {\frac {n^{n}}{\left(n-1\right)!}}\sum _{k=0}^{\lfloor nx\rfloor }\left(-1\right)^{k}{n \choose k}\left(x-{\frac {k}{n}}\right)^{n-1}&{\text{ pour }}x\in ]0,1[\\0&{\text{sinon.}}\end{cases}}}
Plus généralement, la moyenne de n variables aléatoires indépendantes et uniformes sur [a , b ] :
X
(
a
,
b
)
=
1
n
∑
k
=
1
n
U
k
(
a
,
b
)
{\displaystyle X_{(a,b)}={\frac {1}{n}}\sum _{k=1}^{n}U_{k}(a,b)}
a pour densité de probabilité
g
(
x
;
n
,
a
,
b
)
=
1
b
−
a
f
X
(
x
−
a
b
−
a
;
n
)
pour
a
≤
x
≤
b
.
{\displaystyle g(x;n,a,b)={\frac {1}{b-a}}f_{X}\left({\frac {x-a}{b-a}};n\right){\text{ pour }}a\leq x\leq b.\,}
Notes et références
↑ (en) N. Balakrishnan , N.L. Jonhson et S. Kotz , Continuous Univariate Distributions , vol. 2, Wiley , 1995 , 2e éd. (ISBN 0-471-58494-0 ) , section 26.9
↑ (en) Grace E. Bates , « Joint Distributions of Time Intervals for the Occurrence of Successive Accidents in a Generalized Polya Scheme », Annal of Mathematical Statistics , vol. 26, no 4, 1955 , p. 705-720 (lire en ligne )
Voir aussi
Lien externe