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Loi logistique
Densité de probabilité
Fonction de répartition
Paramètres
μ
{\displaystyle \mu \,}
s
>
0
{\displaystyle s>0\,}
Support
x
∈
]
−
∞
,
+
∞
[
{\displaystyle x\in ]-\infty ,+\infty [}
Densité de probabilité
e
−
(
x
−
μ
)
/
s
s
(
1
+
e
−
(
x
−
μ
)
/
s
)
2
{\displaystyle {\frac {{\rm {e}}^{-(x-\mu )/s}}{s\left(1+{\rm {e}}^{-(x-\mu )/s}\right)^{2}}}\!}
Fonction de répartition
1
1
+
e
−
(
x
−
μ
)
/
s
{\displaystyle {\frac {1}{1+{\rm {e}}^{-(x-\mu )/s}}}\!}
Espérance
μ
{\displaystyle \mu \,}
Médiane
μ
{\displaystyle \mu \,}
Mode
μ
{\displaystyle \mu \,}
Variance
π
2
3
s
2
{\displaystyle {\frac {\pi ^{2}}{3}}s^{2}\!}
Asymétrie
0
{\displaystyle 0\,}
Kurtosis normalisé
6
/
5
{\displaystyle 6/5\,}
Entropie
ln
(
s
)
+
2
{\displaystyle \ln(s)+2\,}
Fonction génératrice des moments
e
μ
t
B
(
1
−
s
t
,
1
+
s
t
)
{\displaystyle {\rm {e}}^{\mu \,t}\,\mathrm {B} (1-s\,t,\;1+s\,t)\!}
|
s
t
|
<
1
{\displaystyle |s\,t|<1\!}
Fonction bêta
Fonction caractéristique
e
i
μ
t
B
(
1
−
i
s
t
,
1
+
i
s
t
)
{\displaystyle {\rm {e}}^{{\rm {i}}\mu t}\,\mathrm {B} (1-ist,\;1+ist)\,}
|
i
s
t
|
<
1
{\displaystyle |{\rm {i}}st|<1\,}
modifier
En probabilité et en statistiques , la loi logistique est une loi de probabilité absolument continue à support infini utilisé en régression logistique et pour les réseaux de neurones à propagation avant . Son nom de loi logistique est issu du fait que sa fonction de répartition est une fonction logistique .
La loi logistique a deux paramètres μ et s > 0 et sa densité est
f
(
x
;
μ
,
s
)
=
e
−
x
−
μ
s
s
(
1
+
e
−
x
−
μ
s
)
2
=
1
4
s
sech
2
(
x
−
μ
2
s
)
{\displaystyle f(x;\mu ,{s})={\frac {{\rm {e}}^{-{\frac {x-\mu }{s}}}}{s\left(1+{\rm {e}}^{-{\frac {x-\mu }{s}}}\right)^{2}}}={\frac {1}{4s}}\operatorname {sech} ^{2}\!\left({\frac {x-\mu }{2s}}\right)}
Sa fonction de répartition est
F
(
x
;
μ
,
s
)
=
1
1
+
e
−
x
−
μ
s
=
1
2
+
1
2
tanh
(
x
−
μ
2
s
)
.
{\displaystyle F(x;\mu ,s)={\frac {1}{1+{\rm {e}}^{-{\frac {x-\mu }{s}}}}}={\frac {1}{2}}+{\frac {1}{2}}\;\operatorname {tanh} \!\left({\frac {x-\mu }{2s}}\right).}
Son espérance et sa variance sont données par les formules suivantes :
E
(
X
)
=
μ
{\displaystyle \mathbb {E} (X)=\mu \,}
Var
(
X
)
=
s
2
π
2
3
{\displaystyle {\textrm {Var}}(X)={\frac {s^{2}\pi ^{2}}{3}}}
La loi logistique standard est la loi logistique de paramètres 0 et 1. Sa fonction de répartition est la sigmoïde :
F
(
x
)
=
1
1
+
e
−
x
{\displaystyle F(x)={\frac {1}{1+{\rm {e}}^{-x}}}}
Son espérance vaut alors 0 et sa variance π2 / 3
Si
X
∼
logistique
(
μ
,
β
)
{\displaystyle X\sim {\textrm {logistique}}(\mu ,\beta )}
k
X
+
l
∼
logistique
(
k
μ
+
l
,
k
β
)
{\displaystyle kX+l\sim {\textrm {logistique}}(k\mu +l,k\beta )}
Si
X
∼
U
(
0
;
1
)
{\displaystyle X\sim {\mathcal {U}}(0;1)}
loi uniforme continue ) alors
μ
+
β
(
ln
(
X
)
−
ln
(
1
−
X
)
)
∼
logistique
(
μ
,
β
)
{\displaystyle \mu +\beta (\ln(X)-\ln(1-X))\sim {\textrm {logistique}}(\mu ,\beta )}
Si
X
,
Y
∼
G
(
α
,
β
)
{\displaystyle X,Y\sim {\mathcal {G}}(\alpha ,\beta )}
loi de Gumbel ) alors
X
−
Y
∼
logistique
(
0
,
β
)
{\displaystyle X-Y\sim {\textrm {logistique}}(0,\beta )}
Si
X
,
Y
∼
G
E
V
(
α
,
β
,
0
)
{\displaystyle X,Y\sim {\mathcal {GEV}}(\alpha ,\beta ,0)}
loi d'extremum généralisée ) alors
X
−
Y
∼
logistique
(
0
,
β
)
{\displaystyle X-Y\sim {\textrm {logistique}}(0,\beta )}
Si
X
∼
G
(
α
,
β
)
,
Y
∼
G
E
V
(
α
,
β
,
0
)
{\displaystyle X\sim {\mathcal {G}}(\alpha ,\beta ),\,Y\sim {\mathcal {GEV}}(\alpha ,\beta ,0)}
X
+
Y
∼
logistique
(
2
α
,
β
)
{\displaystyle X+Y\sim {\textrm {logistique}}(2\alpha ,\beta )}
Si
X
∼
logistique
(
μ
,
s
)
{\displaystyle X\sim {\textrm {logistique}}(\mu ,s)}
loi log-logistique :
exp
(
X
)
∼
log
−
logistique
(
α
=
e
μ
,
β
=
1
s
)
{\displaystyle \exp(X)\sim \log -{\textrm {logistique}}\left(\alpha ={\rm {e}}^{\mu },\beta ={\frac {1}{s}}\right)}
exp
(
X
)
+
γ
∼
log
−
logistique
3
(
α
=
e
μ
,
β
=
1
s
,
γ
)
{\displaystyle \exp(X)+\gamma \sim \log -{\textrm {logistique}}3\left(\alpha ={\rm {e}}^{\mu },\beta ={\frac {1}{s}},\gamma \right)}
loi log-logistique à trois paramètres )
Si
X
∼
E
(
1
)
{\displaystyle X\sim {\mathcal {E}}(1)}
loi exponentielle ) alors
μ
+
β
ln
(
e
X
−
1
)
∼
logistique
(
μ
,
β
)
.
{\displaystyle \mu +\beta \ln({\rm {e}}^{X}-1)\sim \operatorname {logistique} (\mu ,\beta ).}
Si
X
,
Y
∼
E
(
1
)
{\displaystyle X,Y\sim {\mathcal {E}}(1)}
μ
−
β
ln
(
X
Y
)
∼
logistique
(
μ
,
β
)
.
{\displaystyle \mu -\beta \ln \left({\frac {X}{Y}}\right)\sim \operatorname {logistique} (\mu ,\beta ).}
La loi logistique est aussi utilisée pour le classement Elo .
![{\displaystyle x\in ]-\infty ,+\infty [}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cbd14842c0a74b1fb5e88d19b7840cb81c5764cf)
