Discussion:Variable aléatoire à densité

Manques actuels

• Il manque un critere d'existence de densité dans le cas multidimensionnel, mais je n'en connais qu'un, le Th. de Radon-Nikodym, et il est de peu d'intérêt pratique. Toutefois sa réciproque a un intérêt pratique.

fait, mais il faut enrichir la page Théorème de Radon-Nikodym car le lien entre les deux pages n'est clair qu'en formulant la propriété "avoir une densité" en terme de la loi $\scriptstyle \ \mathbb {P} _{X}\$ de la v.a. $\scriptstyle \ X,$ alors que cette page le fait seulement en terme de $\scriptstyle \ X.$ Et je préfèrerais cantonner l'abstract nonsense dans les pages de théorie de la mesure, dans la mesure du possible.--Chassaing 19 octobre 2008 à 18:35 (CEST)

• Il manque des exemples de calcul et le fait que les marginales seules ne permettent pas de calculer des probas comme p.e. P(X>Y).

fait--Chassaing 6 avril 2009 à 10:48 (CEST)

• Il manque essentiellement, sur le fond, le critère d'indépendance des composantes d'un vecteur aléatoire.

fait--Chassaing 6 avril 2009 à 10:48 (CEST)

• Il manque des exemples simples, les calculs sur la médiane de 9 pourraient effaroucher certains lecteurs, pourquoi j'ai choisi 9 et pas 5 ??? Ceci dit, à titre d'effet collatéral de ce choix bizarre, certains pourraient être encouragés à se lancer dans des calculs horribles, avec l'espoir qu'ils s'arrangent. C'est pas forcément grave.
• Il manque sûrement des graphiques.

réparé par Ludovic89

• Il manque la référence correcte pour le Théorème de Borel (Hewitt et Stromberg ??)

fait--Chassaing 6 avril 2009 à 10:46 (CEST)

• Il manque (mais cela manque sur la page Statistique d'ordre) l'énoncé et la preuve de la densité jointe des statistiques d'ordre.
• Les calculs d'intégrales multiples liant processus de Poisson et loi exponentielle pourraient eux aussi constituer un exemple intéressant ??
• Liste non limitative ...--Chassaing 19 octobre 2008 à 00:59 (CEST)
• Il n'existe pas de lien vers les variables aléatoires discrètes et les lois de probabilités qui leurs sont propres.

fait, mais peut-être de manière non satisfaisante--Chassaing 6 avril 2009 à 10:48 (CEST)

• Il manque quelques lignes pour expliquer à quoi cette notion est utile ("à quoi ça sert"), avecc un ou deux exemples. Merci.

Symbole

La deuxième formule indique P(4.3 <= x <= 7.8) tandis que dans la définition on a P(a < x <= b). Le premier inférieur est-il inférieur ou inférieur ou égal ?

Peu importe dans ce cas : P(4.3 <= x <= 7.8) = P(4.3 < x <= 7.8). Kelam (Qu'est-ce que c'est ?) 20 octobre 2010 à 16:36 (CEST)

Non, par example f(x) = (4.3*Delta_Dirac(x) + exp(-x**2))/Norme

Pas faux. Dans ce cas, je verrais ça avec les propriétés de la fonction de répartition (la primitive de f nulle en -∞). Vu que dans ton exemple, elle sera discontinue en 0, mais continue à droite, on retomberait sur P(4.3 <= x < 7.8). Kelam (Qu'est-ce que c'est ?) 22 octobre 2010 à 09:57 (CEST)

Remarque : il n'y a pas d'exemple de variable X à densité vérifiant que P(4.3 <= x <= 7.8) est différent de P(4.3 < x <= 7.8). L'égalité en question est une propriété universelle des variables à densité (si l'on utilise le vocabulaire bien établi en probabilités). J'ai rajouté un paragraphe à ce propos dans l'article. L'example f(x) = (4.3*Delta_Dirac(x) + exp(-x**2))/Norme n'est pas clair pour moi vu l'emploi de notations non définies comme Delta_Dirac et Norme. Je subodore la présence d'atomes (ou masses de Dirac) dans la loi de probabilités prise en exemple ici, ce qui induirait que la variable aléatoire prise en exemple n'est pas à densité, car possèdant une partie discrète (si l'on utilise toujours le vocabulaire bien établi en probabilités). Il serait utile d'établir un lexique entre le vocabulaire des physiciens (ou autres) et celui des mathématiciens, en la matière (par exemple, annoncer en début d'article qu'on utilise le vocabulaire mathématique, mais qu'il existe d'autres acceptions et renvoyer à une partie un peu plus loin dans l'article, où ce lexique est donné ???). Malheureusement je ne suis pas compétent en la matière, ne connaissant que le vocabulaire mathématique (il faudrait trouver un contributeur dominant les deux languages).--Chassaing 23 octobre 2010 à 13:16 (CEST)

exemple erroné d'utilisation du théorème de Radon-Nikodym ?

Tout d'abord désolé de ne pas utiliser le code mathématique pour ma suggestion. Il est écrit dans l'article que si un vecteur bidimensionnel admet une densité, alors la probabilité que l'image de ce vecteur par une fonction psi suffisamment régulière soit nulle, est nulle. Mais quelles que soient les conditions sur ce vecteur bidimensionnel a priori, si psi est une fonction nulle (et donc une fonction « suffisamment régulière »), alors la probabilité que l'image du vecteur par psi soit nulle, est forcément égale à 1... non ?

« suffisamment régulière » est une expression vague, qui a tous les sens qu'on veut, ça dépend du contexte (dans la bouche de ceux qui l'emploient, ça signifie essentiellement « j'ai la flemme de chercher les hypothèses précises et vous êtes assez grands pour le faire vous même »). Ici ça signifie que ψ(x,y)=0 est de mesure nulle, ce qui peut être assuré par des conditions sur ψ via le théorème des fonctions implicites : en ce sens, c'est un joker que le rédacteur sort de sa manche, et, donc, par définition, il n'y a pas erreur, puisque l'énoncé est volontairement vague, de manière affichée, mais il y a juste une interprétation différente du terme « régulière », de ta part. C'est d'ailleurs le problème de cette rédaction : tu l'as interprété autrement et c'est un effet peu souhaitable de cette formulation, précisément dans wikipedia qui doit apporter une info claire et sans ambiguité à tous les lecteurs. Cette discussion a déjà eu lieu à propos de la page Théorème de Radon-Nikodym, tu peux donc y voir, à la section Densité de probabilité d'un vecteur aléatoire, comment on a réglé le problème et transporter ça dans cet article. Ou bien trouver une meilleure solution ... Chassaing 9 juin 2012 à 17:52 (CEST)

ce qui précède est corroboré par cette citation extraite de l'introduction de la page Théorème des fonctions implicites : « Le théorème indique que si la fonction φ est suffisamment régulière au voisinage d'un point de la courbe, il existe une fonction f de ℝ dans ℝ et au moins aussi régulière que f telle que localement, la courbe et le graphe de la fonction φ sont confondus. » Il suffirait donc peut-être d'ajouter « suffisamment régulière, au sens où on peut lui appliquer le Théorème des fonctions implicites,  par exemple.» Chassaing 9 juin 2012 à 17:59 (CEST)

D'accord, je comprend l'esprit de la formulation maintenant : merci. Je voulais reformuler ma suggestion, mais je vois que vous avez corrigé l'article : plus rien à ajouter donc.--Gswan (d) 9 juin 2012 à 22:50 (CEST)

Bug latex

La première démonstration du paragraphe -Somme de variables aléatoires indépendantes- ne s'affiche pas correctement :

Dans cet exemple, et Alors, pour toute fonction mesurable bornée, Erreur math (La conversion en PNG a échoué ; vérifiez l’installation de latex et dvipng (ou dvips + gs + convert)): \begin{array}\mathbb{E}[\varphi(Y)] &= \mathbb{E}[\varphi(U+V)] = \int_{\mathbb{R}^{2}}\varphi(u+v)f_{X}(u,v)dudv \\ &= \int_{\mathbb{R}^{2}}\varphi(y)f_{X}(t,y-t)\ |J(y,t)|\ dydt, \end{array}

etc...

Quelqu'un pour y remédier ?

Ah ça, c'est pas une erreur du code LaTeX, c'est un plantage de MediaWiki qui n'a pas réussi à convertir en png. Ce genre d'erreur m'est arrivé quand j'avais une connexion un peu pourrie, et à force de patience et de rafraichissement de la page, c'est venu tout seul . Kelam (mmh ? o_ô) 17 juin 2012 à 19:02 (CEST)

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La fonction de répartiton d'une variable aléatoire a valeurs dans R n'est pas necessairement absolument continue, c'est une fonction croissante qui peut admettre des discontinuités, elle est absolument continue sur R si et seulement si elle est continue. Boutarfa Nafia (discuter) 22 mars 2022 à 09:59 (CET)

Il s’agit ici de variables aléatoires à densité, dont la fonction de répartition est bien absolument continue. Notez que dans le cas général la fonction de répartition peut être continue sans être absolument continue (voir escalier de Cantor). Ambigraphe, le 22 mars 2022 à 18:39 (CET)

Notification

L'intégrale de la dérivé d'une fonction de répartition vaut 1 implique que la fonction de répartition est absolument continue si la fonction de répartion est dérivable partout , cela peut etre faux autrement . Boutarfa Nafia (discuter) 22 mars 2022 à 10:04 (CET)

Notification

Le theoreme concernant l'espérance espérance d'une fonction g(X) ou g est un bijection a valeur réelle E(g(X)) est erronée car la loi de la loi g(X) est F(z) ou z est la fonction inverse de g et F la fonction de répartion de F ce qui implique que la densité de probabilité de g(X) est g' multiplié par f(g) ou f est la densité de probabiilté de F. Boutarfa Nafia (discuter) 22 mars 2022 à 15:15 (CET)