Discussion:Triplet pythagoricien

Interloqué

Je suis interloqué par l'affirmation selon laquelle les triplets Pythagoriciens s'obtiennent tous par les formules

   x = 2n(n + 1)
   y = 2n + 1
   z = 2n(n + 1) + 1

Cela signifierait qu'on a toujours z=x+1 !!!!! et comment mettre le naturel 20 (terme pair du triplet 20, 21, 29) sous la forme 2n(n+1).... ????

Je me permets d'effacer cela et de modifier l'article....

D'ailleurs la donnée de z par exemple ne définit pas x et y de manière unique ... exemple les triplets (1007,1224,1585) et (1457,624, 1585)

— Le message qui précède, non signé, a été déposé par Pduceux (discuter), le 20 décembre 2005

- corrigé par Pduceux

Autre version

Je me suis inspiré de cette page Wikipédia pour rédiger une note sur les triplets pythagoriciens. Après reformulation à ma façon cela donne ceci : http://www.opimedia.be/Bruno_Marchal/index.htm#Nombres1, pages 17 et 18. Si vous voulez n'hésitez pas à vous en inspirer à votre tour pour compléter la page Wikipédia.--OPi 23 août 2007 à 17:55 (CEST) --OPi (d) 18 octobre 2011 à 21:36 (CEST)

Liste de triplets primitifs

Suite à cet ajout, je pense qu'il nous faut décider quelles sont les limites à ce genre de liste. Donner quelques exemples facilement vérifiables me parait bien mais des triplets comme (33554433,562949986975744,562949986975745) difficilement vérifiables et peu utilisables ont plus leur place dans un annuaire de nombres que dans une encyclopédie. D'autres avis ? HB (d) 18 octobre 2011 à 19:30 (CEST)

Je pense que la liste des triplets dont tous les termes sont inférieurs à 100 est largement suffisante. Ambigraphe, le 18 octobre 2011 à 21:27 (CEST)

Fait. HB (d) 19 octobre 2011 à 08:05 (CEST)

Excellente initiative ! Ramzan (discuter) 21 juillet 2014 à 13:39 (CEST)

formulation générale

Existe-t-il une formulation générale des triplets pythagoriciens permettant de les générer tous ?-- Supreme assis (grain de sel) 22 octobre 2015 à 11:52 (CEST)

Oui (lire l'article) par exemple x=m^2-n^2 , y =2mn, z=m^2+n^2 (ou échanger x et y), avec m>n.--Dfeldmann (discuter) 22 octobre 2015 à 14:27 (CEST)

Assertion erronée

Dans les "Faits intéressants", il y en a (au moins) une de fausse.

Il est dit que "a est un multiple de 3" (ce qui est évidemment faux). Je pense que c'est "a ou b" qui est multiple de 3 (ce qui ne changerait rien à l'assertion suivante), mais je ne suis pas certain que ce soit vrai, du coup je n'ose pas modifier.

--Ulugunu (discuter) 28 février 2016 à 15:23

Exact. Corrigé. Cependant, je doute fortement de la pertinence de cette section non sourcée qui nous demande de refaire les démonstrations par nous même avec toutes les erreurs que cela peut induire. De plus, je ne vois pas ce que cela a de particulièrement remarquable sauf si ce sont les seules propriétés de congruences. Si quelqu'un supprimait la section, il le ferait avec mon accord. HB (discuter) 28 février 2016 à 16:37

Dommage. Il y avait, dans la section incriminée (depuis le 31/7/14), des choses à garder impérativement, tant le 28/2/16 qu'aujourd'hui avant son effacement. Quant au propriétés élémentaires et moins intéressantes, elles étaient (très imparfaitement) sourcées et facilement mieux sourçables, après correction d'éventuelles autres erreurs et suppression des lignes non sourçables. Anne, 9/11/16, 10 h 56

L'erreur corrigée était récente. Anne, 21/4/17

Favorable en effet à une restitution partielle de la section. Le nettoyage par Art des muses me semble effectivement excessif. HB (discuter) 21 avril 2017 à 11:59 (CEST)

Génération algébrique et géométrique des triplets

Tout d'abord je pense que la section 5, intitulée Faits intéressants, n'est - justement pas! - très intéressante. Ce ne sont que des petites propriétés anecdotiques qui n'ont pas leur place à mon avis dans une synthèse sur les triplets.

Par contre la génération algébrique et géométrique des triplets, telle qu'elle est décrite par André Stoll dans un article de L'Ouvert (*), me semble avoir toute sa place ici.

(*) https://mathinfo.unistra.fr/fileadmin/upload/IREM/Publications/L_Ouvert/n100-101/o_100-101_1-8.pdf

Art des muses (discuter) 8 novembre 2016 à 18:42

Cas particulier

section transférée de ma pdd le 21/4/2017 à 10 h 37, et suite

Nuage de points de tous les couples d'entiers $(a,b)$ tels que $(a,b,{\sqrt {a^{2}+b^{2}}})$ soit pythagoricien avec $a$ et $b$ inférieurs à 4 500.

Merci Anne, pour l'article Trriplets pythagoriciens. Je voulais surtout signaler le cas particulier bien connu: n=1. Amicalement, --Gaétan Lui Même (discuter) 15 avril 2017 à 05:14

Merci à toi Gaétan, car je ne connaissais ni ce que j'ai écrit, ni même le cas n = 1 (penses-tu qu'il faille en parler à présent) ? Anne, 10 h 31

Bonjour; c'est sans rapport, mais je découvre aujourd'hui sur cet article le graphe ci-joint, sur lequel les courbes (elliptiques ?) qu'on distingue me semblent d'autant plus intéressantes qu'elles sont nettes, mais pas parfaitement régulières. Sait-on quelque chose à ce sujet ?--Dfeldmann (discuter) 15 avril 2017 à 08:23

Ah oui tiens ! (j'ai eu du mal à les voir : je me grille les yeux à faire tant d'ordi) je ne sais absolument rien là-dessus. Anne, 10 h 32

Bon, en y réfléchissant, j'ai un début d'explication : si a=2mn et b= m^2-n^2, le point (a,b) est sur la courbe y=c-dx^2 (avec c=m^2 et d=1/(4m^2)), parabole qu'on devine sur le dessin. Mais est-ce bien de cela qu'il s'agit ?--Dfeldmann (discuter) 15 avril 2017 à 14:53

Oui ça a l'air (le x pour y=0 est bien le double du y pour x=0). Anne, 15 h 09. Ou plutôt : a=mn et b=(m^-n^2)/2, donc y=c-dx^2 avec c=m^2/2 et d=1/(2m^2). Et les courbes les plus visibles seraient celles où m est premier, parce qu'il y a plus de n premiers avec eux. Du coup je me demande si ce nuage représente bien tous les triplets ou seulement les triplets primitifs (et de proche en proche : quel est le nombre de chacun, en fonction d'un majorant donné de x et y). Anne, 16 h 06

Bravo pour ta remarque sur m premier. Mais non, les droites (de pente 4/3 et 3/4 en particulier) correspondent aux triplets a=3t, b=4t par exemple. Évidemment, en dehors du carré 2250x2250, tous les points nouveaux correspondent à des triplets primitifs...--Dfeldmann (discuter) 15 avril 2017 à 18:06

Bravo aux deux pour la qualité de vos yeux! Anne, pour répondre à la question posée plus haut: peut-être. Je m'en occupe. Amicalement, --Gaétan Lui Même (discuter) 16 avril 2017 à 02:39

Pour en revenir à la question de Dfeldmann, cette histoire de parabole a figuré dans l'article de août 2015 à novembre 2016, de même que l'histoire de la divisibilité par 3, 4 et 5 ou celle des entiers qui sont des hypoténuses de triangles pythagoriciens (toutes deux sourçables par Sierpiński), dans une section qui contenait bien d'autres faits intéressants. Comme à l'époque (cf. ci-dessus), je regrette encore que cette section ait été effacée complètement, plutôt que triée et sourcée. Anne, 21/4/17 à 10 h 34 et 12 h 06

présence de paraboles dans le nuage de points

bonjour, chaque carré de Z[i] du type (a,b) (a+1,b) (a+1,b+1) a+(b+1)i est transformé par z -> z² en un espèce de quadrilatère dont les côtés sont des parties de parabole ( c'est facile à démontrer ). J'avais hésité à mettre cette information, qui, moi-aussi me paraît intéressante, mais j'ai vu qu'elle intéressait Anne Bauval et Dfelmann. cordialement, stfj. — Le message qui précède, non signé, a été déposé par Stfj (discuter), le 27 janvier 2018 à 14:13 (CET) --Stfj (discuter) 27 janvier 2018 à 14:23 (CET)

Forme générale - version arithmétique vs version algébrique

La démonstration présentée actuellement a l'avantage d'être succincte mais un peu magique : d’où sortent les formules envisagées u = y/2, s = (z + x)/2 et t = (z – x)/2? Elle fait de plus apparaitre de nombreuses propriétés arithmétiques pour exhiber les triplets primitifs. Or j'ai assisté hier à une conférence présentant une autre démarche concernant tous les triplets pythagoriciens, que je présente ici :

(x, y, z) est un triplet pythagoricien si et seulement si le point de coordonnées (x/z, y/z) est un point du cercle unité de coordonnées rationnelles.

Trouver tous les points du quart de cercle unité (X>, Y>0) de coordonnées rationnelles, c'est trouver les points d'intersection du cercle avec un droite passant par A(0, -1) et de pente rationnelle t supérieure à 1.

En posant x/z = λ, y/z=-1+λt, l'équation donne λ² + (λt-1)²=1 soit $\lambda ={\frac {2t}{1+t^{2}}}$.

En posant t=p/q, on obtient la propriété suivante :

(x,y,z) est un triplet pythagoricien si et seulement si il existe deux entiers p et q, 0< q < p tels que ${\frac {x}{z}}={\frac {2pq}{p^{2}+q^{2}}}$ et ${\frac {y}{z}}={\frac {p^{2}-q^{2}}{p^{2}+q^{2}}}$

L'avantage est le faible cout en terme de connaissance en arithmétique. Le conférencier a précisé, sans références, que c'était la «démarche actuelle» pour cette recherche. Faut-il la présenter dans l'article et si oui sous quelle forme? . HB (discuter) 10 mai 2019 à 14:27 (CEST)

On aura également reconnu 1) les "formules en t" donnant sin x et cos x en fonction de t =tan (x/2) 2) l'identité remarquable (p^2-q^2)^2 +(2pq)^2=(p^2+q^2)^2 provenant de la formule sur le module des complexes : |p+iq|^2=|(p+iq)^2. Après, je sais pas ce qui est le plus pédagogique (et j'ai pourtant enseigné les trois en prépa...)--Dfeldmann (discuter) 10 mai 2019 à 15:52 (CEST)

Je suis pour que ce soit présenté de cette façon : c'est très certainement sourçable, ça permet une présentation motivée de ces formules, de plus très élémentaire (un poil plus me semble-t-il que les deux propositions de Denis, pas e trigo, pas de complexes), et donc de rédiger un article (plutôt qu'un extrait de cours), et de toute façon on rejoint naturellement ensuite la présentation arithmétique (triplets primitifs). La boîte déroulante devient inutile. Proz (discuter) 10 mai 2019 à 16:46 (CEST)

Forme générale - redondance dans la démonstration

Dans la démonstration de la forme générale, j'avais jugé utile de préciser que a/c et b/c étaient des rationnels positifs car cette information permet de dire immédiatement que la pente t de la droite AM(a/c, b/c) est un rationnel compris entre 0 et 1.

Dans une démonstration, distinguer les étapes de raisonnement des éléments redondants relève, il est vrai, de la subjectivité car les arguments s'enchainent de manière logique.

Si les lecteurs sont capables de passer d'un seul saut intellectuel de «a, b, c sont des entiers positifs» à «t est un rationnel compris entre 0 et 1» pas de problème, mais est-ce le cas? HB (discuter) 7 août 2021 à 14:34 (CEST)

Je suis d'accord avec toi pour préciser (comme le fait ta source) que $x={\frac {1-t^{2}}{1+t^{2}}}$ et $y={\frac {2t}{1+t^{2}}}$ sont des rationnels si et seulement si $t={\frac {y}{x+1}}$ l'est, et que $x$ et $y$ sont $>0$ si et seulement si $0<t<1$. Ce qui me gênait était l'équivalence « Un triplet (a, b, c) d'entiers strictement positifs est pythagoricien si et seulement [si] le point M de coordonnées (a/c, b/c) est un point du cercle unité de coordonnées rationnelles strictement positives », dans laquelle l'ajout « de coordonnées rationnelles strictement positives » n'a — d'un point de vue strictement logique — rien à faire. Anne, 16 h 35

Ah oui, je comprends l'erreur logique de mon énonciation sur le quantificateur. J'ai tenté une contre-proposition mais elle ne me satisfait pas. HB (discuter) 7 août 2021 à 17:53 (CEST)

Je propose une nouvelle rédaction, mais vu mon déboire précédent, je la propose d'abord ici

(...) De plus, x et y sont des rationnels strictement positifs si et seulement si t est un rationnel strictement compris entre 0 et 1.

Au triplet (a, b, c) d'entiers strictement positifs, on associe le point M de coordonnées (a/c, b/c) rationnelles strictement positives. Le triplet (a, b, c) est pythagoricien si et seulement le point M est un point du cercle unité. Cela se traduit par les conditions :

${\frac {a}{c}}=x={\frac {1-t^{2}}{1+t^{2}}}$ et ${\frac {b}{c}}=y={\frac {2t}{1+t^{2}}}$

où t, pente de la droite (AM), est un rationnel q/p strictement compris entre 0 et 1, ce qui conclut.

Validation? Objection?HB (discuter) 7 août 2021 à 18:30 (CEST)

OK ! (on peut se dispenser de répéter que t est la pente de la droite (AM)). Anne, 22 h 25

Mis en place. HB (discuter) 8 août 2021 à 07:28 (CEST)

Incohérence entre les triplets historiques et les formules

Bonjour, Je constate une incohérence entre les triplets historiques et les formules. Les triplets historiques sont données dans cette page en rangeant les 3 valeurs a, b, et c du plus petit (à gauche) au plus grand (à droite). Mais cela ne correspond pas toujours à : (a, b, c) , avec les formules : a = p^2-q^2, b = 2pq et c = p^2+q^2 . Pour le triplet (28, 45, 53), p=7 et q=2 par exemple, cela donne : a = 45, b = 28, c = 53. Donc, pour cet exemple, il faut écrire : (45, 28, 53). Cordialement Tony Reix — Le message qui précède, non signé, a été déposé par l'IP 147.161.181.73 (discuter), le 9 septembre 2021 à 23:39 (CEST)

Bien vu. Si $(a,b,c)$ est un triplet pythagoricien, alors $(b,a,c)$ aussi. Dans certains cas, on n'en donne (obtient) que l'un des deux, auquel cas on donne une condition sur a et/ou b. Dans la liste des 16 premiers triplets primitifs, il manquait la condition. Je viens donc d'ajouter la condition $a<b$. — Vincent Lefèvre (discuter) 10 septembre 2021 à 00:05 (CEST)

Erreur dans le résumé introductif de l'article ?

Salut à tous, Il me semble qu'il y a une erreur dans le résumé introductif de l'article. D'après moi, il est réducteur d'écrire qu'un triplet pythagoricien est est « un triplet (a, b, c) d'entiers naturels non nuls vérifiant la relation de Pythagore ». En effet, se limiter aux nombres entiers ? J'ai vérifié sur l'article uplet, vers lequel renvoi le lien sur le mot triplet de la définition, un triplet n'est pas forcément constitué de nombres entiers. D'après moi, il existe bien plus de triplets pythagoriciens que ne laisse entendre la définition telle qu'elle est écrite. Par exemple, d'après moi : (1, ${\frac {4}{3}}$, ${\frac {5}{3}}$), (5π, 12π, 13π), (12√2, 35√2, 37√2), (√5, √11, 4) sont des triplets pythagoriciens. Merci de me donner votre avis sur ma remarque. Sans avis contraire, je modifiai le texte de l'article. Au plaisir. Sylvain. Chêne de la sagesse (discuter) 26 août 2022 à 16:24 (CEST)

Non, il n'y a pas d'erreur. Un triplet est bien une série de trois objets de même nature (nombres entiers, nombres réels, vecteurs, points, ...) (corrigé après la remarque de Maëlan) mais un triplet pythagoricien est tjs un triplet d'entiers naturels non nuls vérifiant etc. comme tu peux le lire dans tout ouvrage de math. C'est une notion liée à l'arithmétique. HB (discuter) 26 août 2022 à 17:07 (CEST).

Tu as mis en lien l'article arithmétique. Je l'ai lu, mais je n'y ai pas vu de réponse à ma question. J'ai suivi le lien que tu indique comme « tout ouvrage de math ». La définition écrite pour un triplet pythagoricien, dans les livres de mathématiques indiqués en résultat de recherche, est la même que celle écrite dans l'article. Mais je n'y lis aucune explication sur le fait de limiter la définition d'un triplet pythagoricien aux entiers naturels. Comme tu l'a écris, les exemples que j'ai écris ci-dessus sont bien des triplets. Et ils vérifient la relation de Pythagore. Donc s'ils ne sont pas des triplets pythagoriciens, que sont-ils ? Chêne de la sagesse (discuter) 30 août 2022 à 17:42 (CEST)

Je tente, à la main, un éclairage sur la problématique : le problème de trouver trois nombres réels a, b, c tels que a²+b²=c² n'a aucun intérêt car ne comporte aucune difficulté : il suffit de prendre c=√a²+b². La difficulté nait de la contrainte... Exiger que les trois nombres soient entiers en fait un réel problème qui intéresse les mathématiciens de l'antiquité. Et ce sont les solutions de ce problème-ci qui portent le nom de «triplets pythagoriciens». Le problème se range alors dans une branche des mathématiques qui se limite aux équations dont les solutions sont des entiers (Équation diophantienne), une branche de l'arithmétique. Ceci explique la définition qui figure dans toutes les sources et par conséquent dans cet article. HB (discuter) 30 août 2022 à 19:25 (CEST)

Entendu. Je pense qu'il faut ajouter une note à l'article à ce sujet, car ce qui semble évident pour certains, ne l'est pas forcément pour tout le monde. Chêne de la sagesse (discuter) 29 septembre 2022 à 13:59 (CEST)

Petite remarque hors-sujet en passant : « Un triplet est bien une série de trois objets de même nature » : la partie en italique n'est pas vraie. Par exemple, voir la définition mathématique d'automate fini déterministe : un quintuplet d'objets de natures hétérogènes. Un triplet est un élément d'un ensemble produit cartésien A×B×C, il n’y a pas de raison de limiter le terme à A = B = C. — Maëlan, le 13 août 2023 à 16:41 (CEST)

Merci, tu as raison. Je corrige (un peu tard) mon texte. HB (discuter) 13 août 2023 à 16:50 (CEST)

pourquoi ne pas avoir mis 6 , 8 , 10 ?

question ? 94.105.116.4 (discuter) 17 février 2024 à 23:30 (CET)

ok, pas basique pcq multiple d un autre 94.105.116.4 (discuter) 17 février 2024 à 23:32 (CET)