Discussion:Loi uniforme discrète

Fonction de répartition

Bon, j'avoue que je n'ai pas beaucoup suivi la création de cet article mais ce qui est dit sur le fonction de répartition me parait pour le moins abscon voire faux avec des notations inusitées. Et tout cela date de 2005 !

Classiquement la fonction de répartition d'une variable aléatoire réelle se note $F_{X}$. C'est une fonction croissante de $\mathbb {R}$ dans [0,1]. La variable réelle est plutôt notée x, et on parle de $F_{X}(x)$ mais, je ne sais pas pourquoi, dans ces articles de wikipedia, la variable réelle pour des variables discrètes se note k (soit...) Parlons de $F_{X}(k)=\mathbb {P} (X\leq k)$...

Mais non : le corps du texte parle de $F(k;a,b,n)$ sans avoir défini ni a ni b.

Quant à la remarque qui a le bonheur de ne pas s'afficher dans l'infobox on y parle successivement de

• Par convention la fonction de répartition (de masse) F_k(k_i) est la probabilité que k ≥ k_i

puis de

• Par convention, la fonction de répartition (de masse) F(k_i) est la probabilité que k ≤ k_i.

Alors tout devient confus : k_i est-ce la variable réelle de la fonction de répartition? est-ce un élément du support? Pourquoi est-ce incohérent avec l'expression de la fonction de répartition plus bas où la variable semble être k mais dans laquelle apparait un i incompréhensible?

Je propose donc

• dans le corps du texte, de remplacer $F(k;a,b,n)$ par $F(k;(k_{i})_{i\in \{1,...n\}})$
• dans la légende, si on arrive à l'afficher, mettre :
  • Par convention, la fonction de répartition (de masse) F_X(k) est la probabilité que X ≤ k
• et dans l'expression de la fonction de répartition de remplacer l'expression médiane
  • ${\frac {k-a+1}{n}}={\frac {i}{n}}\quad {\text{pour }}a\leq k<b$ dans laquelle i n'est pas renseigné et qui est fausse pour presque toutes les valeurs de k réelles par
  • ${\frac {k_{i}-a+1}{n}}={\frac {i}{n}}\quad {\text{pour }}k_{i}\leq k<k_{i+1}$ après avoir indiqué dans le support que $a=k_{1}$ et $b=k_{n}$

Malheureusement, ce ne sera toujours pas sourcé: je n'ai trouvé aucun livre raisonnable qui perde du temps à définir une telle fonction de répartition (encore moins avec la Fonction de Heaviside - qui pose d'ailleurs un problème de valeur au saut) mais cela me paraitrait moins faux.

Qu'en pensez-vous? HB (discuter) 3 mars 2023 à 20:04 (CET)

Mis en place (en parlant de l'ensemble A plutôt que de la suite des $k_{i}$). Pour l'expression de la fonction de répartition, on peut aussi choisir de ne plus parler de i et d'écrire, comme le font les autres langues , $F(k)={\frac {\lfloor k\rfloor -a+1}{b-a+1}}$. HB (discuter) 4 mars 2023 à 07:35 (CET)

J'ai encore pensé à regarder s'il y avait un(des) message(s) en PDD... après avoir modifié l'article. Dommage, ça m'aurait évité de supprimer indûment l'indice k dans :

la fonction de répartition (de masse) F_k(k_i) est la probabilité que k ≤ k_i,

puis de priver indûment F de son indice X dans :

la fonction de répartition (de masse) F_X(k) est la probabilité que X ≤ k.

Je me perds aussi dans toutes ces notations différentes... (D'ailleurs : en français, faut-il mettre les noms (X, Y, ···) des variables aléatoires en italique, STP ?) Mais il ne me semble pas voir de i incompréhensible. 🙂

Comme l'article en français sépare nettement le cas général réel du cas particulier entier, comme son infobox est consacrée au cas particulier entier, et comme l'expression centrale de la fonction de répartition dans son infobox était ${\frac {k-a+1}{n}}$ au lieu de ${\frac {\lfloor k\rfloor -a+1}{n}},$ il m'a paru + logique et + simple d'y définir sur $\mathbb {Z}$ (comme la fonction de masse) la fonction de répartition, donc avec l'expression centrale, correcte sur {a, a+1, ···, b−1, b} : $\mathrm {F} _{X}(k)={\frac {k-a+1}{n}}={\frac {i}{n}},$ où i est défini par $i=k-a+1.$ D'ailleurs, j'envisageais de chercher une image de fonction de répartition constituée seulement de points d'abscisses entières (pas de segments, ni de demi-droites) ; mais maintenant, je crois comprendre que c'est inusité (?). —

2A01:CB00:8BE7:5800:2991:B6EB:9554:BB8 (discuter) 4 mars 2023 à 16:54 (CET)

2A01:CB00:8BE7:5800:30AC:2FD2:8C63:DBFF (discuter) 4 avril 2023 à 15:02 (CEST)

Pour l'italique, je ne sais pas, j'avoue n'avoir commencé à m'en préoccuper que depuis mon arrivée sur WP avec, en plus, de nbses erreurs sur ce point. Je crois que mettre X en italique ne serait pas une grande hérésie (on trouve X en italique dans de nbse sources et même dans des articles labellisés sur Wikipedia) et faciliterait les formules Tex.

Pour la fonction de répartition, je l'ai toujours vue définie sur $\mathbb {R}$, même pour des variables discrètes comme ici HB (discuter) 4 mars 2023 à 17:28 (CET)

Problème de plan et de niveau

Actuellement, malgré les améliorations indéniables apportées ces quelques jours, tout semble encore bien mélangé tant dans le niveau que dans le plan.

Le plan actuel est

1. RI
2. Cas des modalités non numériques
3. Cas des modalités numériques
   1. valeurs entières consécutives
   2. fonction de répartition
4. Cas général
   1. calcul de probabilité et espérance

et cela ne va pas : une loi uniforme discrète peut s'appliquer sur des modalités non numériques (pile ou face, $\mathbb {R} ^{d}$) mais dans le premier cas, on ne peut définir ni espérance ni fonction de répartition ( et dans le second cas, pas de fonction de répartition) donc l'espérance n'a rien à faire dans le cas général. De même n'a rien à y faire la remarque sur la théorie de la mesure qui, au passage, concerne non l'espérance, mais la loi de probabilité Si on enlève tout le hors sujet , il ne reste plus qu'un doublon du cas des modalités non numériques

Je propose un autre plan :

1. Définition générale

   contenant la définition informelle du début de l'article : «Une variable aléatoire qui peut prendre n modalités distinctes etc.

   et la définition plus formelle avec la notion de support, de cardinal, de fonction indicatrice

1. Cas particuliers
   1. modalité non numérique : Pile ou Face pourquoi pas mais assez réduit en terme de calcul, en ajoutant le cas d'une variable aléatoire qui dans un jeu de 32 carte, associe à chaque carte tirée sa valeur (7, 8, 9, 10, V, D, R, AS) ou sa couleur (Pique, Trèfle , Carreau , Coeur) avec le calcul de Probabilité (tirer un figure) et ne pas tirer de Pique
   2. modalité numérique
      1. valeurs entières consécutives
      2. cas général de la variable aléatoire réelle
         1. reprise de l'expression de la probabilité cette fois ci avec la fonction de Dirac
         2. expression de la fonction de répartition avec la fonction marche de heaviside
         3. expression de l'espérance version simple avec n et $k_{i}$ et de la variance (sourçables) avec une remarque en complément (de manière général si X est une variable aléatoire uniforme discrète sur un ensemble A quelconque et que $\varphi$ est une fonction définie sur $\mathrm {A}$ et à valeurs réelles alors etc....)

Je pose de plus une autre question : sur les sources disponibles[1], [2], [3], [4], [5], [6], [7] l'exemple emblématique de loi uniforme discrète est la loi uniforme sur l'ensemble {1, 2, ..., n} et n'est pas celle d'un loi sur n entiers consécutifs. Il me paraitrait plus simple (et sourçable) de mettre en exergue cet exemple-là plutôt que le cas de loi uniforme sur {a, a+1, ..., b} et un dessin illustratif (avec n=... ce que vous voulez) est aisément réalisable)

Qu'en pensez-vous? HB (discuter) 6 mars 2023 à 12:28 (CET)

À HB : Avec toutes les sources que tu as consultées, tu es bien mieux placée que moi pour établir un plan. Je suggère juste de mettre l'exemple (très simple) de pile ou face au tout début de l'article (et ceux (moins simples) des cartes dans le corps de l'article), et de faire qqs petites modifs :

1. Cas particuliers
   1. Modalités non numériques
   2. Modalités numériques
      1. Valeurs entières consécutives
      2. Cas général : Valeurs réelles (ou entières)

(pas «Cas général :», car modalités non numériques pas traitées ici).

PS : Tentative (à l'aveugle) de simplifier un bout de code-source : $\{{\text{« pile », « face »}}\}$. —2A01:CB00:8BE7:5800:2991:B6EB:9554:BB8 (discuter) 6 mars 2023 à 18:00 (CET)

Bon, j'ai mis en place la réorganisation. mais le résultat ne me satisfait pas vraiment. Je ne pense pas qu'il y ait des erreurs mais l'absence de source prouve le peu de pertinence d'un développement aussi abstrait sur une loi somme toute relativement simple. Utiliser par exemple la fonction de Heaviside dans le cadre général d'une variable aléatoire non continue a tout son sens. Utiliser cette artillerie lourde pour la loi de probabilité la plus simple, cela ne semble pas apparaitre dans la littérature. Seulement, je n'ai l'habitude de détruire le travail d'autrui (ce que j'ai déjà fait pour passer de «entiers consécutifs» à «entiers de 1 à n») donc je vais en rester là. À vous la main, pour corriger, élaguer, compléter ou refondre. HB (discuter) 8 mars 2023 à 15:53 (CET)

Mini-plan potentiel pour sous-section « Somme »

—2A01:CB00:8BE7:5800:CCB5:CDBD:FA73:A5 (discuter) 10 avril 2023 à 18:23 (CEST)

Voici un mini-plan potentiel pour la sous-section « Somme », si on trouve un jour des sources pour chacune de ses parties :

• La somme de deux variables aléatoires, même indépendantes, suivant des lois discrètes uniformes de même étendue, suit une loi discrète non uniforme.

C'est très facile à démontrer (je crois), donc ça figure vraisemblablement qq part... 😛

$\mathbb {P} (k_{1}+\ell _{1})=\mathbb {P} (k_{n}+\ell _{m})={\tfrac {1}{n{\text{·}}m}}.$

Notons $\Delta$ l'étendue commune ; $k_{1}+\ell _{m}=k_{1}+(\ell _{1}+\Delta )=(k_{1}+\Delta )+\ell _{1}=k_{n}+\ell _{1},$

donc $\mathbb {P} (k_{1}+\ell _{m})=\mathbb {P} (k_{n}+\ell _{1})\geq {\tfrac {2}{n{\text{·}}m}}.$

Exemple : $D_{6}+D_{6}$ (déjà dans l'article) (distribuée en « triangle isocèle discret »).

• La somme de deux variables aléatoires indépendantes suivant des lois discrètes uniformes d'étendues différentes peut suivre une loi discrète uniforme.

Exemple : $10{\text{·}}D_{10}+D_{10}$ (déjà dans l'article) (distribuée en « segment discret »).

(Exemple « moins particulier » : $10{\text{·}}D_{12}+D_{10}$ (distribuée en « segment discret »).)

(Autre exemple « moins particulier » : $D_{6}+D_{4}{\text{·}}{\sqrt {2}}$ (distribuée en points alignés mais inégalement espacés).)

• La somme de deux variables aléatoires indépendantes suivant des lois discrètes uniformes d'étendues différentes peut suivre une loi discrète non uniforme.

Exemple : $D_{6}+D_{4}\ ;$

${\big \backslash }{\underline {{\text{ Valeur }}k_{i}{\text{ de }}D_{6}}}$ ${\overline {{\text{Valeur }}\ell _{j}{\text{ de }}D_{4}\ }}{\big \backslash }$	1	2	3	4	5	6
1	2	3	4	5	6	7
2	3	4	5	6	7	8
3	4	5	6	7	8	9
4	5	6	7	8	9	10

donc le tableau de la loi de $S=D_{6}+D_{4}$ est :

Valeur $s_{h}$ de $S$	2	3	4	5	6	7	8	9	10
$\mathbb {P} (S=s_{h})$	1/24	2/24	3/24	4/24	4/24	4/24	3/24	2/24	1/24

($S$ est distribuée en « trapèze isocèle discret »). —

2A01:CB00:8BE7:5800:A0B0:91D5:BC68:A427 (discuter) 22 mars 2023 à 02:06 (CET) 2A01:CB00:8BE7:5800:A11F:FAC1:8430:757F (discuter) 23 mars 2023 à 05:06 (CET) 2A01:CB00:8BE7:5800:A11F:FAC1:8430:757F (discuter) 24 mars 2023 à 03:33 (CET)

Merci d'avoir corrigé mon affirmation trop généraliste : j'aurais du dire «la somme de deux variables aléatoires, même indépendantes, suivant toutes deux des lois uniformes discrètes, ne suit pas en général une loi uniforme».

Merci d'avoir donné des exemples. Malheureusement j'ai cherché en vain des sources. Il est facile de montrer que la loi est uniforme discrète, pour la somme de deux variables indépendantes suivant des lois uniformes discrètes, dès qu'il existe une bijection de $A\times A'$ dans B (A et A' sont les supports des deux variables, et B le support de leur somme). Mais, si aucun ouvrage n'a jugé pertinent de le dire, est-ce à nous de le dire? HB (discuter) 22 mars 2023 à 08:47 (CET)

Il y a beaucoup (une infinité) de paires de variables aléatoires indépendantes discrètes uniformes de somme uniforme, alors dire « en général non uniforme » est-il adéquat ? 😛 —2A01:CB00:8BE7:5800:A0B0:91D5:BC68:A427 (discuter) 22 mars 2023 à 22:38 (CET)

L'adverbe peut être changé, l'important est de signaler que l'uniformité ne se transmet pas automatiquement à la somme.

Voir section suivante pour mon degré d'investissement (que je souhaite aussi léger que possible). HB (discuter) 23 mars 2023 à 08:24 (CET)

Dire que « couleur ≠ Pique » est un événement de l'univers image ?

Dans l'exemple du jeu de cartes : le + clair serait de dire explicitement que B, « la couleur de la carte tirée n'est pas Pique », est un événement de {« Pique », « Cœur », « Carreau », « Trèfle »}, univers image par X du jeu des 32 cartes ; non ?

(Je crois et j'espère que c'était ma dernière proposition de modif pour cet article...) 😛 —2A01:CB00:8BE7:5800:A11F:FAC1:8430:757F (discuter) 24 mars 2023 à 03:33 (CET)

Tu sais, tu n'as pas besoin de notre accord. Surtout si on n'a pas d'idée définie sur le sujet. Ne t'inquiète pas, on saura passer en page de discussion si une de tes interventions nous chiffonne. En attendant, tu peux appliquer le «qui ne dit mot consent». HB (discuter) 26 mars 2023 à 09:19 (CEST)

Formule de IE[φ(X)] dans cas particulier φ : A —> IR

Est-il nécessaire d'invoquer un théorème (de transfert) pour établir la formule ${\textstyle \mathbb {E} {\big (}\varphi (X){\big )}={\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}\varphi (k_{i})\ ?}$ C'est simplement la définition de l'espérance d'une variable aléatoire numérique à support fini, non ? (D'ailleurs, X n'est pas nécessairement à modalités numériques, donc X n'a pas nécessairement d'espérance.) —2A01:CB00:8BE7:5800:A0B0:91D5:BC68:A427 (discuter) 22 mars 2023 à 22:38 (CET)

Je me contente de citer la source, ce document p. 5, qui appelle théorème de transfert ce que j'aurais appelé naivement comme toi "définition de l'espérance". Quand j'hésite je m'appuie sur les sources surtout si elles concordent.

De plus, dans le théorème de transfert, on ne demande pas à X d'être une variable aléatoire numérique.

Maintenant, j'ai trop peu investi d'énergie sur cet article pour avoir un avis arrêté sur son contenu. Je te laisse donc faire et n'interviendrai que si je détecte un loup flagrant. HB (discuter) 23 mars 2023 à 08:16 (CET)

Oui : le théorème de transfert (interprété par moi) présenté par l'article Loi de probabilité assure que (entre autres choses) dans la somme (si elle a un sens) de $\mathbb {E} {\big (}\varphi (X){\big )},$ on peut regrouper les $\omega$ donnant le même $x$ par $X.$

Mais malheureusement, ce théorème (de transfert) présenté par cet article (Loi de probabilité) impose à $X$ d'être une variable aléatoire numérique... 🥴

${\color {orange}{\text{Appliqué par moi}}}$ à une variable aléatoire discrète, ça donne :

Soit une variable aléatoire réelle ${\color {orange}{\text{discrète}}}\ {\color {teal}X:\Omega \rightarrow \mathbb {R} .}$ Alors :

${\color {teal}\mathbb {E} {\big (}\varphi (X){\big )}{\stackrel {\text{déf.}}{=}}}{\color {orange}\sum _{\omega \in \Omega }\varphi {\big (}X(\omega ){\big )}\mathbb {P} (\{\omega \})=\sum _{x\in \mathbb {R} }\varphi (x)\mathbb {P} _{X}(\{x\}),}$

pour toute fonction ${\color {teal}\varphi :\mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R} }$ telle qu'au moins une des deux sommes ait un sens.

Plus bas dans le même article : Loi de probabilité#Classification des lois de probabilité sur la droite réelle##Lois discrètes###Définition, ce théorème (de transfert) appliqué à une variable aléatoire discrète, ${\color {orange}{\text{complété (correctement ?) par moi,}}}$ ${\color {red}{\text{et corrigé (correctement ?) par moi,}}}$ donne :

Pour une variable aléatoire discrète ${\color {teal}X,}$ le théorème de transfert s'exprime sous forme de sommes (ou de séries) :

${\color {teal}\mathbb {E} {\big (}\varphi (X){\big )}=}\ {\color {orange}\sum _{\omega \in \Omega _{a}}\varphi {\big (}X(\omega ){\big )}p(\omega )=}\ {\color {teal}\sum _{x\in {\bcancel {\Omega _{a}}}{\color {red}X(\Omega _{a})=\mathbb {R} _{a}}}\varphi (x)p_{X}(x),}$

pour toute fonction ${\color {teal}\varphi :\mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R} }$ positive ou nulle, ou telle que la série converge absolument.

(Pour une variable aléatoire à support fini, ces sommes ont évidemment un sens.) —2A01:CB00:8BE7:5800:A11F:FAC1:8430:757F (discuter) 25 mars 2023 à 02:09 (CET)

Le document mis en source (p. 5) n'impose pas à X d'être réelle. Maintenant tant d'octets pour un mot que je t'ai laissé le loisir de supprimer, vraiment, est-ce nécessaire? Si tu trouves plus prudent de supprimer le terme transfert, fais-le sans état d'âme. HB (discuter) 25 mars 2023 à 08:05 (CET)

À HB et à Kelam : Finalement, il me semble qu'il faudrait laisser l'article Loi uniforme discrète invoquer le théorème de transfert, avec X variable aléatoire uniforme discrète à modalités quelconques (c.-à-d. numériques ou non), et ajouter dans l'article Loi de probabilité une remarque signalant que le théorème de transfert peut être généralisé (à certaines conditions ?) aux variables aléatoires à modalités quelconques. Qu'en pensez-vous, SVP ?

PS (« Pre-Scriptum ») : Et que pensez-vous de ma proposition dans le sujet de discussion précédent (sur l'univers image), SVP ? —2A01:CB00:8BE7:5800:A11F:FAC1:8430:757F (discuter) 26 mars 2023 à 00:04 (CET)

À HB et à Kelam : Et que pensez-vous du ${\color {orange}{\text{complément (?)}}}$ et de la ${\color {red}{\text{correction (?)}}}$ dans la dernière ligne d'égalités (multicolores) ci-dessus, SVP ? (Je ne sais pas biffer en Tex.) Pourrais-je les mettre dans l'article Loi de probabilité ? —2A01:CB00:8BE7:5800:6C2F:928C:47A1:789A (discuter) 30 mars 2023 à 02:26 (CEST)

Complément dangereux, amha. On ne connait pas la nature de l'espace probababilisé $\Omega _{a}$. Il pourrait très bien ne pas être discret et dans ce cas, $\mathbb {P} (\omega )$ n'aurait aucun sens. (par exemple $\Omega _{a}=[0,1[$ muni de la probabilité uniforme et $X(\omega )=\lfloor 6\omega +1\rfloor$).

PS: Biffer comment ça? ${\cancel {x}}$ HB (discuter) 30 mars 2023 à 08:17 (CEST)

Oui : biffer presque comme ça, merci ! (J'avais vu sur Internet qu'il fallait faire ouvrir une extension de commandes Tex avant d'utiliser « \cancel »...) L'idéal serait de biffer en rouge un élément écrit pas en rouge, mais c'est sûrement trop compliqué...

Mais Loi de probabilité#Classification des lois de probabilité sur la droite réelle##Lois discrètes###Définition dit :

L'ensemble des atomes d'une loi de probabilité est fini ou dénombrable.,

et « dans la foulée », utilise la fonction de masse $p.$ Donc le ${\color {orange}{\text{complément (?)}}}$ est correct, non ?

Et que pensez-vous de la ${\color {red}{\text{correction (?)}}}$ dans la dernière ligne d'égalités (multicolores) ci-dessus, SVP ? —2A01:CB00:8BE7:5800:6C2F:928C:47A1:789A (discuter) 30 mars 2023 à 18:35 (CEST)

Quel est l'intérêt de parler sur cette page d'une modification que tu envisages d'effectuer sur un autre article (de ce que j'ai compris ce serait sur l'article loi de probabilité) ? Ce qui est y est écrit actuellement est juste et ne nécessite ni correction ni de complément. Tu essaies là de construire une autre formule (ou bien tu cherches à l'élargir à d'autres variables que les variables aléatoires réelles) et tu t'emmêles les pinceaux. Tu modifies ton texte nous obligeant à relire plusieurs fois les mêmes propositions. Les notations pour les univers changent, ce qui complique les échanges.

• si $X:\Omega \rightarrow \mathbb {R}$ l'univers de départ est $\Omega$ et non $\Omega _{a}$ donc on ne devrait voir cette dernière notation nulle part
• je persiste, à dire que le premier complément (en orange) est faux. Les pages de discussion des articles se prêtent mal à la donnée d'un cours et je me vois mal paraphraser l'article sur loi de probabilité, et faire un cours sur la mesure. La mesure sur $\Omega$ n'a aucune raison d'être discrète et l'ensemble $\Omega$ n'a aucune raison d'être constitué d'atomes (les atomes sont des points particuliers de l'univers tel que $\{\omega \}$ est un élément de la tribu et $\mathbb {P} \{\omega \}$ est non nul.)
• dans la seconde somme (en magenta) tu peux sommer sur $\mathbb {R}$ ou sur $X(\Omega )$ comme tu veux (si X est une variable aléatoire réelle discrète), tu ne peux sommer que sur $X(\Omega )$ si tu ne précises pas que la variable est réelle . Puisque X est une variable aléatoire discrète, $X(\Omega )$ est alors bien constitué d'atomes.
• Mais je m'arrête là (il est dommage que la longueur et le caractère confus des échanges conduisent encore une fois à un abandon de ma part) et me contente de te donner les conseils de base : trouve des sources avant de tenter des modifications de fond au lieu de chercher l'aval d'autres contributeurs et douter de leur réponse. HB (discuter) 30 mars 2023 à 19:46 (CEST)

À HB :

• Je crois avoir compris pourquoi le ${\color {orange}{\text{complément (?)}}}$ est faux si $\Omega$ n'est pas discret (même si $X$ est discrète) : juste après « ${\color {teal}\mathbb {E} {\big (}\varphi (X){\big )}=}$ », la 1ère somme reste une intégrale, à cause des parties à densité de $\mathbb {P} .$
• J'ai proposé 2 « petites » modifs pour Loi de probabilité à la suite de la discussion sur Discussion:Loi uniforme discrète (ici), puisque c'était sur le même théorème, et car je pensais naïvement que ça ne serait qu'une formalité...
• Si tu avais lu Loi de probabilité#Classification des lois de probabilité sur la droite réelle##Lois discrètes###Définition, tu aurais su que les « $a$ » en indice y figurent déjà : je ne les ai pas ajoutés.

Je n'avais modifié mes commentaires que de façon cosmétique, pour les clarifier et en faciliter la lecture. Je viens seulement de remplacer « ${\color {red}\Omega '_{a}}$ » par « ${\color {red}\mathbb {R} _{a}}$ », puisque dans Loi de probabilité, $X:\Omega \rightarrow \mathbb {R} .$

• Ta phrase :

Puisque X est une variable aléatoire discrète, ${\color {teal}X(\Omega )}$ est alors bien constitué d'atomes.

me semble fausse si $\Omega$ n'est pas discret (même si $X$ est discrète) ; $\Omega =[0,1{\color {orange}\mathbf {]} }$ muni de la probabilité uniforme et $X(\omega )=\lfloor 6\omega +1\rfloor$ me semblent en fournir un contre-exemple : $\mathbb {P} _{X}{\big (}\{7\}{\big )}=\mathbb {P} {\big (}\{1\}{\big )}=0.$

• Je crois avoir compris pourquoi la ${\color {red}{\text{correction (?)}}}$ est fausse si $\Omega$ n'est pas discret (même si $X$ est discrète) : ${\color {red}X(\Omega _{a})}$ peut être STRICTEMENT inclus dans ${\color {red}\mathbb {R} _{a}},$ à cause des parties à densité de $\mathbb {P} .$

Mais la ${\color {red}{\text{correction (?) simple :}}}$

${\color {teal}\mathbb {E} {\big (}\varphi (X){\big )}=\sum _{x\in {\bcancel {\Omega _{a}}}{\color {red}\mathbb {R} _{a}}}\varphi (x)p_{X}(x)}$

me semble encore nécessaire...? —

2A01:CB00:8BE7:5800:CCB5:CDBD:FA73:A5 (discuter) 10 avril 2023 à 22:06 (CEST)

À Kelam : HB est actuellement en Wikibreak, alors c'est à vous que je dois poser la dernière question ci-dessus... —2A01:CB00:8BE7:5800:7C16:101F:A5AC:DD77 (discuter) 12 avril 2023 à 03:47 (CEST)

2A01:CB00:8BE7:5800:7C16:101F:A5AC:DD77 (discuter) 13 avril 2023 à 01:20 (CEST)