Boson de Schwinger

Les bosons de Schwinger sont des particules fictives introduites par Julian Schwingerpour représenter les opérateurs de spin en mécanique quantique au moyen du formalisme de seconde quantification.

Soient $b_{\sigma }$avec $\sigma =\uparrow ,\downarrow$les opérateurs d'annihilation des bosons de spin $\sigma$, et $b_{\sigma }^{\dagger }$les opérateurs de création. Les opérateurs de spin $S$ sont donnés par les relations

$S^{+}=S_{x}+iS_{y}=b_{\uparrow }^{\dagger }b_{\downarrow }$

$S^{-}=S_{x}-iS_{y}=b_{\downarrow }^{\dagger }b_{\uparrow }$

$S^{z}={\frac {1}{2}}(b_{\uparrow }^{\dagger }b_{\uparrow }-b_{\downarrow }^{\dagger }b_{\downarrow })$

avec la contrainte $b_{\uparrow }^{\dagger }b_{\uparrow }+b_{\downarrow }^{\dagger }b_{\downarrow }=2S$. Si on élimine la contrainte pour avoir une seule espèce de boson, on retrouve le formalisme d'Holstein et Primakoff.

Généralisations

Le formalisme des bosons de Schwinger, initialement appliqué à l'étude des représentations du groupe $SU(2)$, peut se généraliser au cas des groupes $SU(N),N\geq 3$ et permet de construire leurs représentations irréductibles.

Applications en physique de la matière condensée

Le formalisme des bosons de Schwinger est utilisé dans la théorie de l'antiferromagnétisme pour traiter les systèmes où les fluctuations sont importantes. Il permet en particulier de reproduire le gap de Haldane et les états de bord dans la chaîne de spin-1 antiferromagnétique. Sur un réseau bipartite, on peut remplacer les spins $SU(2)$ par des spins $SU(N)$ dans la représentation fondamentale sur un des sous réseaux, et par des spins dans la représentation conjuguée sur l'autre sous-réseau, puis prendre la limite $N\to +\infty$ dans laquelle l'approximation de champ moyen devient exacte. Sur un réseau non-bipartite, qui peut se rencontrer dans le magnétisme frustré, la généralisation adaptée consiste à replacer les spins $SU(2)$ par des spins $Sp(N)$correspondant à un groupe symplectique.