Rampe (fonction)

La fonction rampe (ou rampe) est la fonction réelle élémentaire définie par :

$R:\mathbb {R} \to \mathbb {R} ,\quad x\mapsto {\begin{cases}x&{\text{si }}x\geq 0,\\0&{\text{si }}x<0.\end{cases}}$

Cette fonction trouve son application en ingénierie, par exemple dans la théorie du traitement du signal.

Graphe de la fonction rampe.

Définitions

La fonction rampe ($R:\mathbb {R} \to \mathbb {R}$) peut être définie de différentes autres façons :

• la moyenne arithmétique de la variable et de la valeur absolue de celle-ci.$R(x):={\frac {x+|x|}{2}}$

  Ceci peut se déduire de la définition de la fonction $\max(a,b)={\frac {a+b+|a-b|}{2}}$, avec $a=x$ et $b=0$ ;

• la fonction de Heaviside multipliée par l'application identité :

$R\left(x\right):=xH\left(x\right)$ ;

• la convolution de la fonction de Heaviside avec elle-même :

$R\left(x\right):=(H*H)\left(x\right)$ ;

• l'intégrale de la fonction de Heaviside :

$R(x):=\int _{-\infty }^{x}H(\xi )\,\mathrm {d} \xi$.

Propriétés analytiques

• La fonction rampe est positive sur la droite réelle, et même nulle pour tout réel négatif.
• Sa dérivée est la fonction de Heaviside :

  $R'(x)=H(x)\ \mathrm {si} \ x\neq 0$.

• Sa transformée de Fourier vaut

  ${\mathcal {F}}R(f)=\int _{0}^{+\infty }R(x)\operatorname {e} ^{-2\mathrm {i} \pi fx}={\frac {\mathrm {i} \delta '(f)}{4\pi }}-{\frac {1}{4\pi ^{2}f^{2}}}$,

  où δ' désigne la dérivée de la distribution de Dirac.

• Sa transformée de Laplace vaut

  ${\mathcal {L}}R(s)=\int _{0}^{+\infty }R(x)\operatorname {e} ^{-sx}\,\mathrm {d} x={\frac {1}{s^{2}}}$.

Lien externe

(en) Eric W. Weisstein, « Ramp function », sur MathWorld