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La fonction rampe (ou rampe ) est la fonction réelle élémentaire définie par :
R
:
R
→
R
,
x
↦
{
x
si
x
≥
0
,
0
si
x
<
0.
{\displaystyle R:\mathbb {R} \to \mathbb {R} ,\quad x\mapsto {\begin{cases}x&{\text{si }}x\geq 0,\\0&{\text{si }}x<0.\end{cases}}}
Cette fonction trouve son application en ingénierie, par exemple dans la théorie du traitement du signal .
Graphe de la fonction rampe.
La fonction rampe (
R
:
R
→
R
{\displaystyle R:\mathbb {R} \to \mathbb {R} }
) peut être définie de différentes autres façons :
la moyenne arithmétique de la variable et de la valeur absolue de celle-ci.
R
(
x
)
:=
x
+
|
x
|
2
{\displaystyle R(x):={\frac {x+|x|}{2}}}
Ceci peut se déduire de la définition de la fonction
max
(
a
,
b
)
=
a
+
b
+
|
a
−
b
|
2
{\displaystyle \max(a,b)={\frac {a+b+|a-b|}{2}}}
, avec
a
=
x
{\displaystyle a=x}
et
b
=
0
{\displaystyle b=0}
;
la fonction de Heaviside multipliée par l'application identité :
R
(
x
)
:=
x
H
(
x
)
{\displaystyle R\left(x\right):=xH\left(x\right)}
;
la convolution de la fonction de Heaviside avec elle-même :
R
(
x
)
:=
(
H
∗
H
)
(
x
)
{\displaystyle R\left(x\right):=(H*H)\left(x\right)}
;
R
(
x
)
:=
∫
−
∞
x
H
(
ξ
)
d
ξ
{\displaystyle R(x):=\int _{-\infty }^{x}H(\xi )\,\mathrm {d} \xi }
.
La fonction rampe est positive sur la droite réelle, et même nulle pour tout réel négatif.
Sa dérivée est la fonction de Heaviside :
R
′
(
x
)
=
H
(
x
)
s
i
x
≠
0
{\displaystyle R'(x)=H(x)\ \mathrm {si} \ x\neq 0}
.
Sa transformée de Fourier vaut
F
R
(
f
)
=
∫
0
+
∞
R
(
x
)
e
−
2
i
π
f
x
=
i
δ
′
(
f
)
4
π
−
1
4
π
2
f
2
{\displaystyle {\mathcal {F}}R(f)=\int _{0}^{+\infty }R(x)\operatorname {e} ^{-2\mathrm {i} \pi fx}={\frac {\mathrm {i} \delta '(f)}{4\pi }}-{\frac {1}{4\pi ^{2}f^{2}}}}
,
où δ' désigne la dérivée de la distribution de Dirac .
Sa transformée de Laplace vaut
L
R
(
s
)
=
∫
0
+
∞
R
(
x
)
e
−
s
x
d
x
=
1
s
2
{\displaystyle {\mathcal {L}}R(s)=\int _{0}^{+\infty }R(x)\operatorname {e} ^{-sx}\,\mathrm {d} x={\frac {1}{s^{2}}}}
.
(en) Eric W. Weisstein , « Ramp function », sur MathWorld