Espace tensoriel

Soit E un module sur un anneau commutatif unitaire A. On appelle tenseur p fois contravariant et q fois covariant sur E tout élément du produit tensoriel $\bigotimes _{i=1}^{p}E\otimes \bigotimes _{j=1}^{q}E^{*}$, où $E^{*}$ est le module dual de E.

Soit u un automorphisme du A-module E, ${}^{t}u$ est le morphisme contragrédient de $E^{*}$, c'est-à-dire l'automorphisme défini par ${}^{t}u(\varphi )=\varphi \circ u$. On peut définir une action du groupe linéaire GL(E) sur $\bigotimes _{i=1}^{p}E\otimes \bigotimes _{j=1}^{q}E^{*}$ par :

${\begin{matrix}u\cdot x=&\underbrace {(u\otimes \cdots \otimes u} &\otimes &\underbrace {{}^{t}u\otimes \cdots \otimes {}^{t}u)} (x)\\&p&&q\end{matrix}}$

On appelle espace tensoriel sur E tout sous-module H de $\bigotimes _{i=1}^{p}E\otimes \bigotimes _{j=1}^{q}E^{*}$ stable par la loi externe $(u,x)\mapsto u\cdot x$.