Avertissement: cet article est sensé faire partie d'une série d'articles traitant du calcul des structures, à venir.

Introduction

Dans son expression la plus simple, c'est un élément linéaire de longueur $L$ , de section droite $A$ portant de $a$ à $b$ , sur deux appuis A et B, soumis à une force $F_{i}$ et à des charges distribuées $q_{j}$ .

Fig. 1 illustre une poutre simple sur deux appuis soumise à une force $F$ orthogonale à la poutre.

Fichier:Poutre tv 1.png

Fig. 1: Poutre soumise à une force $F_{i}$ et à des charges distribuées $q_{j}$

Effort intérieurs

Si on coupe la poutre représentée en Fig. 1 à un endroit $x$ , il est nécessaire d'introduire:

La force $N$ : force normale ou effort axial,
La force $V$ : force de cisaillement ou effort rasant, tranchant et
Le moment $M$ : moment le flexion

pour formuler l'équilibre; Fig. 2 illustre ceci.

Conventions

Pour la détermination des efforts intérieurs de poutres, il est nécessaire d'introduire un formalisme concernant le sens de la poutre considérée ainsi que le signe des efforts intérieurs.

Sens positif de poutres

On pourrait définir le sens positif d'une poutre en définissant un axe $x$ dans le sens de la poutre, par exemple de $A$ à $B$ si on considère la poutre en Fig. 2.

Par habitude, on représente le sens positif de poutres de la manière suivante: On trace une ligne en pointillés en dessous de la poutre si le sens positif va de la gauche à la droite ou au dessus de la poutre si le sens positif est de la droite à la gauche.

Dans le cas de poutres horizontale, on met généralement cette ligne en pointillés en dessous, c'est-à-dire que le sens positif va de la gauche à la droite. Fig. 2 illustre ceci.

Signe des efforts intérieurs

La convention suivante concernant le signe des efforts est adoptée, elle est illustrée par la Fig. 2 :

Sur le coté gauche: l'effort normal $N$ sort de la poutre, l'effort tranchant $V$ montre vers le haut et le moment $M$ tourne dans le sens des aiguilles d'une montre ;
Sur le coté droit : l'effort normal $N$ sort de la poutre, l'effort tranchant $V$ montre vers le bas et le moment $M$ tourne dans le sens contraire des aiguilles d'une montre.

Fig. 2 illustre ceci.

Fichier:Poutre tv 2.png

Fig. 2: Efforts intérieurs et conventions utilisés

Diagrammes des efforts intérieurs

Comme les efforts intérieurs sont en général dépendants de la position $x$ dans la poutre, on représente ces derniers comme des fonctions le long de l'axe des $x$ en traçant des lignes. Il est convenu de tracer les valeurs positives du coté de la ligne en pointillés, les valeurs négatives en dessus, comme l'illustre Fig. 3.

Détermination des efforts intérieurs

La détermination des efforts intérieurs repose sur les conditions d'équilibre. Pour cela on suit le procedé suivant:

On détermine les réactions d'appui de la barre sous les charges considerées;
On coupe la barre à un endroit $x$ ;
On formule l'équilibre à l'aide des conditions d’équilibre du plan puis
On trace les valeurs $N(x)$ , $V(x)$ et $M(x)$ le long de la poutre en suivant la convention ci-haut.

Il est plus aisé de montrer ce procédé sur des exemples concrets.

Barre sur deux appuis avec charge linéaire q

Problème

Soit la poutre de longueur $L$ reposant sur deux appuis simples en $A$ et $B$ assujettie à une charge linéaire constante $q$ telle représentée en Fig. 3.

Déterminez les diagrammes de $N$ , $V$ et de $M$ le long de la poutre.

Solution

Les réactions d'appuis se déterminent aisément en formulant l'équilibre des moments autour de $A$ une fois et autour de $B$ une deuxième fois:

$B\times L-qL\times {\frac {L}{2}}=0$ donne $B={\frac {1}{2}}qL$
$-A\times L+qL\times {\frac {L}{2}}=0$ donne $A={\frac {1}{2}}qL$

Ensuite on coupe la poutre en la position $x$ , on remplace la partie coupée par les efforts intérieurs $N$ , $V$ et de $M$ , les appuis par les réactions d'appui et on formule l'équilibre:

$N(x)=0$
$A-V(x)+q\times x=0$
$V(x)=q({\frac {1}{2}}L-x)$
$-A\times x+qx\times {\frac {x}{2}}+M(x)=0$

ce qui donne, avec $A={\frac {1}{2}}qL$ , $M(x)={\frac {1}{2}}qx(L-x)$

Fig. 3 représente les efforts intérieurs.

Les efforts normaux $N(x)$ sont nuls tout le long de la

poutre.

L'effort de cisaillement est maximal aux appuis: $V_{A}=V(x=0)=+{\frac {qL}{2}}$ , respectivement $V_{B}=V(x=L)=-{\frac {qL}{2}}$ . Entre ces deux valeurs, $V(x)$ est linéaire, avec $V({\frac {L}{2}})=0$ .
Le moment $M(x)$ décrit une fonction parabolique le long de

la poutre. Sa valeur est maximale en $x={\frac {L}{2}}$ ou elle vaut $M_{Max}=M({\frac {L}{2}})={\frac {1}{2}}q{\frac {L}{2}}(L-{\frac {L}{2}})={\frac {1}{8}}qL^{2}$ .

Fig. 3: Poutre simple sur deux appuis avec charge linéaire $q_{i}$

Barre sur deux appuis avec force $F$

Problème

Soit la poutre de longueur $L$ reposant sur deux appuis simples en $A$ et $B$ assujettie à une force $F$ distante de $a$ de $A$ et de $b$ de $B$ . Le système est représenté en Fig. 4.

Determinez les lignes de $N$ , $V$ et de $M$ le long de la poutre.

Solution

La aussi, on détermine en premier lieu les réaction d'appui:

$F\times a-B\times L=0$ donne $B={\frac {a}{L}}F$ ou bien $B={\frac {a}{a+b}}F$ ;
$-A\times L+F\times b=0$ donne $A={\frac {b}{L}}F$ ou bien $A={\frac {b}{a+b}}F$ .

Pour la détermination des efforts intérieurs, il faudra procéder par intervalles. En premier, étudions l'intervalle (1) : $0\leq x<a$ :

$N_{1}(x)=0$
$A-V_{1}(x)=0$ qui donne $V_{1}(x)=A$ $V_{1}(x)={\frac {b}{a+b}}F$ et ensuite
$-A\times x+M_{1}(x)=0$ qui donne $M_{1}(x)=x{\frac {b}{a+b}}F$

A présent l'intervalle (2) : $a<x\leq L$ :

$N_{2}(x)=0$
$B+V_{2}(x)=0$ qui donne $V_{2}(x)=-B$ ou bien $V_{2}(x)=-{\frac {a}{a+b}}F$
$-B\times (L-x)+M_{2}(x)=0$ qui donne $M_{2}(x)=(L-x){\frac {a}{a+b}}F$

Comme la force F agit exactement à $x\,=\,a$ , il n'est formellement pas possible de décider à quel intervalle appartient ce point ; l’effort tranchant $V(a)$ à cet endroit est donc indéfini. Notons que l'ambigüité n'existe que pour $V(a)$ , car :

$N_{1}(a)=N_{2}(a)=0$ est bien défini
$M_{1}(a)=a{\frac {b}{a+b}}F={\frac {ab}{a+b}}F$ et $M_{2}(a)=(L-a){\frac {a}{a+b}}F={\frac {ba}{a+b}}F$ donne $M_{1}(a)=M_{2}(a)$ est aussi bien défini