Formulaire de mécanique

Cinématique

En coordonnées cartésiennes

${\overrightarrow {OM}}=x{\overrightarrow {u_{x}}}+y{\overrightarrow {u_{y}}}+z{\overrightarrow {u_{z}}}$

${\overrightarrow {v}}(M)={\frac {{\text{d}}{\overrightarrow {OM}}}{{\text{d}}t}}={\frac {{\text{d}}x}{{\text{d}}t}}{\overrightarrow {u_{x}}}+{\frac {{\text{d}}y}{{\text{d}}t}}{\overrightarrow {u_{y}}}+{\frac {{\text{d}}z}{{\text{d}}t}}{\overrightarrow {u_{z}}}$

${\overrightarrow {a}}(M)={\frac {{\text{d}}{\overrightarrow {v}}(M)}{{\text{d}}t}}={\frac {{\text{d}}^{2}{\overrightarrow {OM}}}{{\text{d}}t^{2}}}={\frac {{\text{d}}^{2}x}{{\text{d}}t^{2}}}{\overrightarrow {u_{x}}}+{\frac {{\text{d}}^{2}y}{{\text{d}}t^{2}}}{\overrightarrow {u_{y}}}+{\frac {{\text{d}}^{2}z}{{\text{d}}t^{2}}}{\overrightarrow {u_{z}}}$

En coordonnées cylindriques

${\overrightarrow {OM}}=\rho {\overrightarrow {u_{\rho }}}+z{\overrightarrow {u_{z}}}$

${\overrightarrow {v}}(M)={\frac {{\text{d}}{\overrightarrow {OM}}}{{\text{d}}t}}={\frac {{\text{d}}\rho }{{\text{d}}t}}{\overrightarrow {u_{\rho }}}+\rho {\frac {{\text{d}}\phi }{{\text{d}}t}}{\overrightarrow {u_{\phi }}}+{\frac {{\text{d}}z}{{\text{d}}t}}{\overrightarrow {u_{z}}}$

${\overrightarrow {a}}(M)={\frac {{\text{d}}{\overrightarrow {v}}(M)}{{\text{d}}t}}={\frac {{\text{d}}^{2}{\overrightarrow {OM}}}{{\text{d}}t^{2}}}=\left({\frac {{\text{d}}^{2}\rho }{{\text{d}}t^{2}}}-\rho \left({\frac {{\text{d}}\phi }{{\text{d}}t}}\right)^{2}\right){\overrightarrow {u_{\rho }}}+\left(2{\frac {{\text{d}}\rho }{{\text{d}}t}}{\frac {{\text{d}}\phi }{{\text{d}}t}}+\rho {\frac {{\text{d}}^{2}\phi }{{\text{d}}t^{2}}}\right){\overrightarrow {u_{\phi }}}+{\frac {{\text{d}}^{2}z}{{\text{d}}t^{2}}}{\overrightarrow {u_{z}}}$

En utilisant: $\displaystyle {\frac {{\text{d}}{\overrightarrow {u_{\rho }}}}{{\text{d}}t}}={\frac {{\text{d}}\phi }{{\text{d}}t}}{\overrightarrow {u_{\phi }}}$ et ${\frac {{\text{d}}{\overrightarrow {u_{\phi }}}}{{\text{d}}t}}=-{\frac {{\text{d}}\phi }{{\text{d}}t}}{\overrightarrow {u_{\rho }}}$

En coordonnées sphériques

${\overrightarrow {OM}}=r{\overrightarrow {u_{r}}}$

${\overrightarrow {v}}(M)={\frac {{\text{d}}{\overrightarrow {OM}}}{{\text{d}}t}}={\frac {{\text{d}}r}{{\text{d}}t}}{\overrightarrow {u_{r}}}+r{\frac {{\text{d}}\theta }{{\text{d}}t}}{\overrightarrow {u_{\theta }}}+r{\frac {{\text{d}}\varphi }{{\text{d}}t}}\sin \theta {\overrightarrow {u_{\varphi }}}$

${\overrightarrow {a}}(M)={\frac {{\text{d}}{\overrightarrow {v}}(M)}{{\text{d}}t}}={\frac {{\text{d}}^{2}{\overrightarrow {OM}}}{{\text{d}}t^{2}}}=a_{r}{\overrightarrow {u_{r}}}+a_{\theta }{\overrightarrow {u_{\theta }}}+a_{\varphi }{\overrightarrow {u_{\varphi }}}$

avec:

$a_{r}=\left({\frac {{\text{d}}^{2}r}{{\text{d}}t^{2}}}-r\left({\frac {{\text{d}}\theta }{{\text{d}}t}}\right)^{2}+r\left({\frac {{\text{d}}\varphi }{{\text{d}}t}}\right)^{2}\sin ^{2}\theta \right)$

$a_{\theta }=\left(r{\frac {{\text{d}}^{2}\theta }{{\text{d}}t^{2}}}+2{\frac {{\text{d}}r}{{\text{d}}t}}{\frac {{\text{d}}\theta }{{\text{d}}t}}-r\left({\frac {{\text{d}}\varphi }{{\text{d}}t}}\right)^{2}\sin \theta \cos \theta \right)$

$a_{\varphi }=\left(r{\frac {{\text{d}}^{2}\varphi }{{\text{d}}t^{2}}}\sin \theta +2{\frac {{\text{d}}r}{{\text{d}}t}}{\frac {{\text{d}}\varphi }{{\text{d}}t}}\sin \theta +2r{\frac {{\text{d}}\varphi }{{\text{d}}t}}{\frac {{\text{d}}\theta }{{\text{d}}t}}\cos \theta \right)$

Changement de référentiel

Vitesse d'entraînement: ${\overrightarrow {v_{e}}}(M)=\displaystyle \left({\frac {{\text{d}}{\overrightarrow {OO'}}}{{\text{d}}t}}\right)_{R}+{\overrightarrow {\Omega }}\wedge {\overrightarrow {O'M}}$

Loi de composition des vitesses: ${\overrightarrow {v_{R}}}(M)={\overrightarrow {v_{R'}}}(M)+{\overrightarrow {v_{e}}}(M)$

Accélération d'entraînement: ${\overrightarrow {a_{e}}}(M)=\displaystyle \left({\frac {{\text{d}}^{2}{\overrightarrow {OO'}}}{{\text{d}}t^{2}}}\right)_{R}+{\frac {{\text{d}}{\overrightarrow {\Omega }}}{{\text{d}}t}}\wedge {\overrightarrow {O'M}}+{\overrightarrow {\Omega }}\wedge \left({\overrightarrow {\Omega }}\wedge {\overrightarrow {O'M}}\right)$

Accélération de Coriolis: ${\overrightarrow {a_{c}}}(M)=2{\overrightarrow {\Omega }}\wedge {\overrightarrow {v_{R'}}}(M)$

Loi de composition des accélérations: ${\overrightarrow {a_{R}}}(M)={\overrightarrow {a_{R'}}}(M)+{\overrightarrow {a_{e}}}(M)+{\overrightarrow {a_{c}}}(M)$

Dynamique

Quelques forces

Poids: ${\overrightarrow {P}}=m{\overrightarrow {g}}$

Interaction électromagnétique:${\overrightarrow {F_{1\rightarrow 2}}}=\displaystyle {\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}{\frac {q_{1}q_{2}}{(M_{1}M_{2})^{3}}}{\overrightarrow {M_{1}M_{2}}}$

Interaction gravitationnelle: ${\overrightarrow {G_{1\rightarrow 2}}}=-{\mathcal {G}}\displaystyle {\frac {m_{1}m_{2}}{(M_{1}M_{2})^{3}}}{\overrightarrow {M_{1}M_{2}}}$

Tension d'un ressort: ${\overrightarrow {T}}=-k(l-l_{0}){\overrightarrow {u}}$

Frottement fluide:${\overrightarrow {F}}=-\lambda {\overrightarrow {v}}$

Force d'inertie d'entraînement: ${\overrightarrow {f_{i_{e}}}}=-m{\overrightarrow {a_{e}}}$

Force d'inertie de Coriolis: ${\overrightarrow {f_{i_{c}}}}=-m{\overrightarrow {a_{c}}}$

Principe fondamental de la dynamique

Vecteur quantité de mouvement: ${\overrightarrow {p}}=m{\overrightarrow {v}}(M)$

Principe fondamentale de la dynamique: $\displaystyle {\frac {{\text{d}}{\overrightarrow {p}}(M)}{{\text{d}}t}}=\sum {\overrightarrow {f}}+{\overrightarrow {f_{i_{e}}}}+{\overrightarrow {f_{i_{c}}}}$

Principe des actions réciproques: ${\overrightarrow {f_{A\rightarrow B}}}=-{\overrightarrow {f_{B\rightarrow A}}}$

Aspect énergétique

Travail élémentaire d'une force : $\delta W(M)={\overrightarrow {f}}\cdot {\text{d}}{\overrightarrow {OM}}$

Travail le long d'un chemin $\Gamma _{AB}$ : $\displaystyle W_{A\rightarrow B}=\int _{M\in \Gamma _{AB}}\delta W(M)=\int _{M\in \Gamma _{AB}}{\overrightarrow {f}}\cdot {\text{d}}{\overrightarrow {OM}}$

Puissance : ${\mathcal {P}}=\displaystyle {\frac {\delta W}{{\text{d}}t}}$

On peut aussi définir la puissance comme étant le produit scalaire de la force appliquée au point M avec la vitesse du point : ${\mathcal {P}}={\overrightarrow {F}}\cdot {\overrightarrow {v}}{(M)}$

Énergie cinétique d'un point matériel : $E_{c}(M)=\displaystyle {\frac {1}{2}}mv^{2}(M)$

Théorème de l'énergie cinétique : $\displaystyle \Delta E_{c}=\sum W(f)+W(f_{i_{e}})+W(f_{i_{c}})$

Énergie mécanique: $E_{m}=E_{c}+E_{p}$

Énergie potentielle pour quelques forces conservatives

Pesanteur: $E_{p}({\overrightarrow {P}})=mgz+C$

Ressort: $E_{p}({\overrightarrow {T}})=\displaystyle {\frac {1}{2}}k(l-l_{0})^{2}+C$

force de Coulomb: $E_{p}({\overrightarrow {F}})=\displaystyle {\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}{\frac {q_{1}q_{2}}{r}}$

Gravitation: $E_{p}({\overrightarrow {G}})=\displaystyle -{\mathcal {G}}{\frac {m_{1}m_{2}}{r}}$

Notion de Moment

Moment cinétique d'un point $M$: ${\overrightarrow {L_{O}}}(M)={\overrightarrow {OM}}\wedge m{\overrightarrow {v}}(M)$

${\overrightarrow {L_{O'}}}(M)={\overrightarrow {L_{O}}}(M)+{\overrightarrow {O'O}}\wedge m{\overrightarrow {v}}(M)$

Moment d'une force ${\overrightarrow {f}}$ par rapport à $O$: ${\overrightarrow {{\mathcal {M}}_{O}}}({\overrightarrow {f}})={\overrightarrow {OM}}\wedge {\overrightarrow {f}}$

${\overrightarrow {{\mathcal {M}}_{O'}}}({\overrightarrow {f}})={\overrightarrow {{\mathcal {M}}_{O}}}({\overrightarrow {f}})+{\overrightarrow {O'O}}\wedge {\overrightarrow {f}}$

Théorème du moment cinétique: ${\frac {{\text{d}}{\overrightarrow {L_{O}}}(M)}{{\text{d}}t}}=\sum {\overrightarrow {{\mathcal {M}}_{O}}}({\overrightarrow {f}})+{\overrightarrow {{\mathcal {M}}_{O}}}({\overrightarrow {f_{i_{e}}}})+{\overrightarrow {{\mathcal {M}}_{O}}}({\overrightarrow {f_{i_{c}}}})$

Oscillateur

Oscillateur harmonique (sans amortissement)

Equation différentielle de la forme : ${\frac {{\text{d}}^{2}x}{{\text{d}}t^{2}}}+\omega _{0}^{2}x=0$

Pulsation propre : $\omega _{0}=$ ; Période propre: $T_{0}=\displaystyle {\frac {2\pi }{\omega _{0}}}$

Solution sous la forme: $x(t)=A\cos(\omega _{0}t)+B\sin(\omega _{0}t)$

Les constantes A et B sont déterminées par les conditions initiales.

Oscillateur avec facteur d'amortissement $\lambda$

Equation différentielle de la forme : ${\frac {{\text{d}}^{2}x}{{\text{d}}t^{2}}}+2\lambda {\frac {{\text{d}}x}{{\text{d}}t}}+\omega _{0}^{2}x=0$

Trois cas selon la valeur du discriminant de l'équation caractéristique :

$\Delta =4(\lambda ^{2}-\omega _{0}^{2})$

$\ast$ si $\Delta <0$ soit $\lambda <\omega _{0}$, alors $x(t)=e^{-\lambda t}\left[A\cos(\Omega t)+B\sin(\Omega t)\right]$ (régime pseudo-périodique)

Pseudo-pulsation : $\Omega ={\sqrt {\omega _{0}^{2}-\lambda ^{2}}}$ ; Pseudo-période : $T=\displaystyle {\frac {2\pi }{\Omega }}$

$\ast$ si $\Delta =0$ soit $\lambda =\omega _{0}$, alors $x(t)=(At+B)e^{-\lambda t}$ (régime critique)

$\ast$ si $\Delta >0$ soit $\lambda >\omega _{0}$, alors $x(t)=e^{-\lambda t}(Ae^{{\sqrt {\lambda ^{2}-\omega _{0}^{2}}}.t}+Be^{-{\sqrt {\lambda ^{2}-\omega _{0}^{2}}}.t})$ (régime apériodique)

Dans chaque cas, les constantes A et B sont déterminées par les conditions initiales.

Liens internes

• Mécanique
• Mécanique newtonienne