Nombre d'or

Le nombre d'or habituellement désigné par la lettre φ, est le nombre :

$\phi ={\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}\approx 1.6180339887...$

unique réel positif tel que :

$\phi ^{2}=\phi +1\$

Deux nombres sont dits être dans le rapport du nombre d'or ou dans la divine proportion, si le tout par rapport au plus grand est comme le plus grand par rapport au plus petit, i.e.

${\frac {a+b}{a}}={\frac {a}{b}}.$

De manière équivalente, ils sont dans le rapport du nombre d'or si le rapport du plus grand par le plus petit est égal au rapport du plus petit par leur différence:

${\frac {a}{b}}={\frac {b}{a-b}}.$

De simples manipulations algébriques, (multiplication de la première par a/b et de la seconde par (a-b)/b)), montrent que ces deux relations sont équivalentes à :

$\left({\frac {a}{b}}\right)^{2}={\frac {a}{b}}+1$

et ainsi

${\frac {a}{b}}=\phi .$

Le fait qu'un segment soit divisé en deux morceaux de longueurs a et b qui restent dans le rapport du nombre d'or est aussi (dans les vieux textes) exprimé comme «la longueur est coupée en extrême et moyenne raison».

Les anciens égyptiens et anciens grecs connaissaient déjà le nombre d'or et, parce qu'ils le considéraient comme une proportion esthétiquement agréable, ils l'utilisaient souvent dans la construction de monuments (comme par exemple , le Parthénon).

Le pentagramme si populaire pour les pythagoriciens contient aussi des sections dorées. Il est aussi parfois utilisé dans les constructions modernes, telles que les escaliers et les bâtiments, et dans les formats de papier, puisque les européens utilisent des feuilles de papier (au format A4) coupées dans des rapports du nombre d'or. Des études récentes ont montré que la proportion d'or joue un rôle dans la perception humaine de la beauté, comme dans les formes et les expressions des corps.

Voici une raison possible de l'attrait manifesté par le rectangle d'or: considérons un rectangle dont les côtés de longueurs a et b sont dans un rapport du nombre d'or :

   |.......... a..........|

   +-------------+--------+   -
   |             |        |   .
   |             |        |   .
   |      B      |   A    |   b
   |             |        |   .
   |             |        |   .
   |             |        |   .
   +-------------+--------+   -

   |......b......|..a-b...|

Si de ce rectangle, nous supprimons le carré B de côtés de longueurs b, alors le rectangle restant A est à nouveau un rectangle d'or, puisque ses côtés sont dans un rapport b/(a-b) = a/b = φ. En itérant cette construction, nous obtenons une suite de rectangles d'or de plus en plus petits; en dessinant un quart de cercle dans chacun des carrés effacés, nous obtenons une figure qui ressemble à une spirale logarithmique.

Puisque φ est défini comme étant la racine d'une équation polynômiale, c'est un nombre algébrique. Il peut être montré que φ est un nombre irrationnel. Comme 1/(1-φ) = φ, la représentation de φ en fraction continue s'écrit :

$\phi ={\frac {1}{1+{\frac {1}{1+{\frac {1}{1+{\frac {1}{1+...}}}}}}}}$

Le nombre φ apparaît souvent en géométrie, en particulier dans les figures comportant des pentagones réguliers. Par exemple le rapport de la longueur d'un côté d'un pentagone régulier par la longueur d'une diagonale est égal à φ, et les sommets d'un isocaèdre régulier se trouvent sur trois rectangles d'or.

L'expression explicite des termes d'une suite de Fibonacci utilise le nombre d'or.

Aussi, la limite des rapports des termes successifs de la suite de Fibonacci est égal au nombre d'or.

Le nombre d'or a des propriétés intéressantes lorsqu'il est utilisé comme base d'un système de nombre voir base d'or.