Inégalité de Hilbert
L'inégalité de Hilbert est une inégalité classique en analyse, Elle remonte à un article du mathématicien allemand David Hilbert de 1888 et donne une majoration de certaines sommes doubles de nombres réels positifs. L'inégalité de Hilbert a été raffinée, généralisée et modifiée par de nombreux auteurs. Enfin, Hermann Weyl - par exemple dans sa thèse de habilitation Equations intégrales singulières avec une attention particulière au théorème intégral de Fourier de 1908 - et en particulier Godfrey Harold Hardy ont effectué des recherches approfondies.
Énoncés
Un premier énoncé concerne des suites de nombres réels positifs. Il est le suivant[1] :
Inégalité de Hilbert (1) — Soient des nombres réels positifs ; alors
De fait, Hilbert a prouvé cette formule avec un facteur ; le facteur est dû à son élève Isaac Shur. Le facteur a été lui-même remplacé par d'après l'article de H. Frazer[2].
Un deuxième énoncé concerne des suites de nombres complexes. Il est le suivant :
Inégalité de Hilbert (2) — Soient des nombres complexes ; alors :
Bibliographie
- Dragoslav S. Mitrinović, Analytic inequalities : In cooperation with Petar Vasić, Springer, coll. « Die Grundlehren der mathematischen Wissenschaften in Einzeldarstellungen mit besonderer Berücksichtigung der Anwendungsgebiete » (no 165), (ISBN 3-540-62903-3, MR 0018226, zbMATH 0199.38101, lire en ligne)
- H. Frazer, « Note on Hilbert’s inequality », The Journal of the London Mathematical Society, vol. 21, , p. 7–9
- Godfrey Harold Hardy, « Note on a theorem of Hilbert », Mathematische Zeitschrift, vol. 6,
- G. H. Hardy, « Note on a theorem of Hilbert concerning series of positive terms », Proceedings of the London Mathematical Society (2), vol. 23,
- G. H. Hardy, J. E. Littlewood et G. Pólya, Inequalities : Reprint (of the 2. edition 1952), Cambridge, Cambridge University Press,
- David Hilbert, « Ueber die Darstellung definiter Formen als Summe von Formenquadraten », Mathematische Annalen, vol. 32, , p. 342–350 (MR 1510517, lire en ligne)
- Fu Cheng Hsiang, « An inequality for finite sequences », Mathematica Scandinavica, vol. 5, , p. 12–14
- Edmund Landau, « A note on a theorem concerning series of positive terms », Journal of the London Mathematical Society, vol. 1, , p. 38–39
- Waadallah Tawfeeq Sulaiman, « Hardy-Hilbert's integral inequalities via homogeneous functions and some other generalizations », Acta et Commentationes Universitatis Tartuensis de Mathematica, vol. 11, , p. 23–32 (MR 2391968)
- David Vernon Widder, « An Inequality Related to One of Hilbert’s », Journal of the London Mathematical Society, vol. 4, , p. 194–198 (MR 1575045, lire en ligne)
- Bicheng Yang et Qiang Chen, « A new extension of Hardy-Hilbert's inequality in the whole plane », Journal of Function Spaces, , article no 9197476 8 pages (MR 3548430)
Notes et références
- Mitrinović 1970, p. 357.
- Frazer 1946.