Inégalité de Hilbert

L'inégalité de Hilbert est une inégalité classique en analyse, Elle remonte à un article du mathématicien allemand David Hilbert de 1888 et donne une majoration de certaines sommes doubles de nombres réels positifs. L'inégalité de Hilbert a été raffinée, généralisée et modifiée par de nombreux auteurs. Enfin, Hermann Weyl - par exemple dans sa thèse de habilitation Equations intégrales singulières avec une attention particulière au théorème intégral de Fourier de 1908 - et en particulier Godfrey Harold Hardy ont effectué des recherches approfondies.

Énoncés

Un premier énoncé est le suivant :

Soient $a_{0},\dots ,a_{n}$ des nombres réels positifs; alors

$\sum _{i=0}^{n}{\sum _{j=0}^{n}{\frac {a_{i}a_{j}}{i+j+1}}}\leq \pi \cdot \sum _{i=0}^{n}{{a_{i}}^{2}}.$

Un deuxième énoncé est le suivant :

Soient $a_{0},\dots ,a_{n},b_{0},\dots b_{n}$ des nombres complexes, alors on a l'inégalité suivante :

${\Bigg |}\sum _{k,j=0}^{n}{\frac {a_{k}{\overline {b_{j}}}}{1+j+k}}{\Bigg |}\leq \pi {\sqrt {\sum _{p=0}^{n}|a_{p}|^{2}}}{\sqrt {\sum _{p=0}^{n}|b_{p}|^{2}}}.$

Bibliographie

• Dragoslav S. Mitrinović, Analytic inequalities : In cooperation with Petar Vasić, Springer, coll. « Die Grundlehren der mathematischen Wissenschaften in Einzeldarstellungen mit besonderer Berücksichtigung der Anwendungsgebiete » (n^o 165), 1970 (ISBN 3-540-62903-3, MR 0018226, zbMATH 0199.38101, lire en ligne)

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