Logique ternaire

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La logique ternaire, ou logique 3 états (parfois abrégée 3VL), également appelé logique trinaire , trivalente , ou triléenne ) (en anglais three-valued logic, trinary logic, trivalent, ternary, or trilean^[1]), est une branche du calcul des propositions qui étend l'algèbre de Boole, en considérant, en plus des états VRAI (en anglais TRUE→ T), et FAUX (en anglais FALSE→ F), l'état INCONNU (en anglais UNKNOW→ U). Cela la différencie des logiques bivalentes plus connues (telles que la logique classique ou la logique booléenne ) qui ne fournissent que vrai et faux.

Emil Leon Post est reconnu pour avoir introduit pour la première fois des degrés de vérité logique supplémentaires dans sa théorie des propositions élémentaires de 1921 ^[2]. La forme conceptuelle et les idées de base de la logique à trois valeurs ont été initialement publiées par Jan Łukasiewicz et Clarence Irving Lewis . Celles-ci ont ensuite été reformulées par Grigore Moisil sous une forme algébrique axiomatique, et également étendues à la logique à n valeurs en 1945.

Pré-découverte

Vers 1910, Charles Sanders Peirce a défini un système logique à valeurs multiples. Il ne l'a jamais publié. En fait, il n'a même pas numéroté les trois pages de notes où il définissait ses opérateurs à trois valeurs^[3]. Peirce a fermement rejeté l'idée que toutes les propositions doivent être vraies ou fausses, les propositions limites, écrit-il, sont « à la limite entre P et non P »^[4]. Cependant, aussi confiant qu'il était que « la logique triadique est universellement vraie »^[5], il a également noté que « tout cela est très proche du non-sens »^[6]. Ce n'est qu'en 1966, lorsque Max Fisch et Atwell Turquette commencèrent à publier ce qu'ils avaient redécouvert dans ses manuscrits inédits, que les idées triadiques de Peirce devinrent largement connues^[4].

Tables de vérité

Article connexe : Algèbre de De Morgan.

Dans la logique ternaire de Stephen Cole Kleene, les tables de vérité des fonctions de base sont les suivantes :

(F, faux; U, unconnu; T, vrai)

NON A
NOT(A)
A	¬A
F	T
U	U
T	F

A ET B
AND(A, B)
A ∧ B		B
A ∧ B		F	U	T
A	F	F	F	F
	U	F	U	U
	T	F	U	T

A OU B
OR(A, B)
A ∨ B		B
A ∨ B		F	U	T
A	F	F	U	T
	U	U	U	T
	T	T	T	T

OU exclusif(A, B)
XOR(A, B)
A ⊕ B		B
A ⊕ B		F	U	T
A	F	F	U	T
	U	U	U	U
	T	T	U	F

A implique B
A $\Rightarrow$ B		B
A $\Rightarrow$ B		F	U	T
A	F	T	T	T
	U	U	U	T
	T	F	U	T

D'une certaine manière, ces propriétés correspondent à l'intuition : par exemple, si on ignore si A est vrai ou faux, son inverse est tout aussi incertain.

Les autres fonctions logiques se déduisent de par leur définition, la distributivité continuant à s'appliquer. Par exemple A NAND B, si A est Faux et B Inconnu, vaut NON(A ET B), soit NON(Faux), donc Vrai.

En électronique

En informatique

En SQL, les variables de type booléen peuvent prendre, en plus des valeurs vrai et faux, la valeur NULL. Une variable booléenne non initialisée, ou une opération avec une variable numérique elle-même non initialisée (dont la valeur est aussi appelée NULL) renvoient le booléen NULL. L'évaluation des prédicats admet donc trois valeurs possibles : true, false et unknown.

Exemples d'évaluation d'une formule en informatique (équation ou inéquation mathématique) :

Équation	Typage de données	Résultat	Typage de résultat
4 < NULL	NULL est ici le NULL des nombres	renvoie la valeur NULL	NULL est ici le NULL des booléens

Quand on manipule un NULL booléen dans les opérations logiques, la logique ternaire s'applique. L'alternative « IF A THEN [instructions] » conduit à ne pas exécuter les instructions si A est NULL.

Notes et références

Notes

(en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Three-valued logic » (voir la liste des auteurs).

Références

↑ https://nlp.stanford.edu/nlp/javadoc/javanlp/edu/stanford/nlp/util/Trilean.html
↑ (en) Emil L. Post, « Introduction to a General Theory of Elementary Propositions », American Journal of Mathematics, vol. 43, n^o 3,‎ 1921, p. 163–185 (ISSN 0002-9327, DOI 10.2307/2370324, lire en ligne, consulté le 15 mai 2024)
↑ (en) « Peirce’s Deductive Logic > Peirce's Three-Valued Logic (Stanford Encyclopedia of Philosophy/Summer 2020 Edition) » (consulté le 15 mai 2024)
↑ ^{a et b} (en) Robert Lane, « Commens : Triadic Logic », 2001 (consulté le 15 mai 2024)
↑ (en) « Peirce Logic Notebook, Charles Sanders Peirce Papers MS Am 1632 (339). Houghton Library, Harvard University », sur Harvard Library Viewer, p. 645
↑ (en) « Peirce Logic Notebook, Charles Sanders Peirce Papers MS Am 1632 (339). Houghton Library, Harvard University », sur Harvard Library Viewer, p. 638

Voir aussi

Articles connexes

Ordinateurs ternaires:
- le Setun (URSS, 1958)
- le Ternac (en) (États-Unis, 1973)
Logique polyvalente
Système ternaire
Algèbre de Post, Algèbre de De Morgan
Table de Karnaugh
Sortie à trois états
Tampon trois états

Liens externes

(en) Development of ternary computers at Moscow State University
(en) Hackaday.io : Série d'articles accompagnant du projet Ternary Computing Menagerie (2019):

[1] ttps://nlp.stanford.edu/nlp/javadoc/javanlp/edu/stanford/nlp/util/Trilean.html

[2] (en) Emil L. Post, « Introduction to a General Theory of Elementary Propositions », American Journal of Mathematics, vol. 43, n^o 3,‎ 1921, p. 163–185 (ISSN 0002-9327, DOI 10.2307/2370324, lire en ligne, consulté le 15 mai 2024)

[3] (en) « Peirce’s Deductive Logic > Peirce's Three-Valued Logic (Stanford Encyclopedia of Philosophy/Summer 2020 Edition) » (consulté le 15 mai 2024)

[:0-4] {a et b} (en) Robert Lane, « Commens : Triadic Logic », 2001 (consulté le 15 mai 2024)

[5] (en) « Peirce Logic Notebook, Charles Sanders Peirce Papers MS Am 1632 (339). Houghton Library, Harvard University », sur Harvard Library Viewer, p. 645

[6] (en) « Peirce Logic Notebook, Charles Sanders Peirce Papers MS Am 1632 (339). Houghton Library, Harvard University », sur Harvard Library Viewer, p. 638

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