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Présenté comme ci-dessous, partant du 1 situé en haut, chaque terme est la somme de trois termes de la ligne précédente (au lieu de deux pour le triangle de Pascal) : celui situé juste au dessus, celui situé au dessus à gauche (considéré comme nul s'il n'existe pas), et celui situé au dessus à droite (considéré comme nul s'il n'existe pas).
Les coefficient lus ligne par ligne forment la suite A027907 de l'OEIS.
Définition formelle
Les termes de la ligne d'indice étant notés :
pour entier quelconque,
les coefficients du triangle trinomial peuvent être générés à l'aide de la formule de récurrence suivante :
, pour et ,
pour .
Les seuls coefficients non nuls sont les pour allant de à .
Propriétés
, pour .
Symétrie d'une ligne par rapport à son centre :
La ligne d'indice est formée des coefficients du trinôme élevé à la puissance :
,
ou, de façon symétrique,
.
La relation de récurrence sur les peut se voir en écrivant que
George Andrews a expliqué cette erreur en montrant l'identité générale[2] :
Applications
Aux échecs
Le triangle trinomial correspond au nombre de chemins possibles que peut emprunter le roi dans une partie d'échecs. Dans la figure ci-contre, le nombre inscrit dans une case représente le nombre de chemins différents (en utilisant un nombre minimum de mouvements) que le roi peut emprunter pour atteindre cette case.
En combinatoire
Le coefficient de dans le développement de donne le nombre de façons différentes de choisir cartes de deux jeux identiques de cartes chacun[3]. Par exemple, à partir de deux jeux de trois cartes A, B, C, les différents choix sont :
Nombre de cartes sélectionnées
Nombre de choix
Choix
0
1
1
3
A, B, C
2
6
AA, AB, AC, BB, BC, CC
3
7
AAB, AAC, ABB, ABC, ACC, BBC, BCC
4
6
AABB, AABC, AACC, ABBC, ABCC, BBCC
5
3
AABBC, AABCC, ABBCC
6
1
AABBCC
Par exemple,
.
Cela donne notamment la formule pour le nombre de mains différentes dans le jeu de cartes Doppelkopf .
Il est également possible d'arriver à cette expression en considérant le nombre de façons de choisir paires de cartes identiques des deux jeux, qui est le coefficient binomial . Les cartes restantes peuvent ensuite être choisies dans façons[3], qui peut être écrit en termes de coefficients binomiaux sous la forme
.
L'exemple ci-dessus correspond aux trois manières de sélectionner deux cartes sans paires de cartes identiques (AB, AC, BC) et aux trois manières de sélectionner une paire de cartes identiques (AA, BB, CC).
↑ abc et d(la) Leonhard Euler, « Observationes analyticae », Novi Commentarii Academiae Scientiarum Petropolitanae, vol. 11, , p. 124–143 (lire en ligne)
↑(en) George Andrews, « Three Aspects for Partitions », Séminaire Lotharingien de Combinatoire, vol. B25f, (lire en ligne)
↑ a et b(de) Andreas Stiller, « Pärchenmathematik. Trinomiale und Doppelkopf.. Issue 10/2005, p. 181 », C't, vol. 10, , p. 181