Utilisateur:Vers75/Brouillon

Formulation et explication

On peut voir la conjecture comme suit: On choisit un point $(\alpha ,\beta )$ dans le plan, puis on considère la suite de points

$(2\alpha ,2\beta ),(3\alpha ,3\beta ),....$

Pour chacun d'entre eux, on multiplie la distance à la droite la plus proche avec la coordonnée entière $x$ par la distance à la droite la plus proche avec la coordonnée entière $y$. Ce produit sera certainement au plus égal à 1/4. La conjecture ne dit pas que cette suite de valeurs converge ; ce n'est généralement pas le cas, en fait. La conjecture concerne la limite inférieure et dit qu'il existe une sous-séquence pour laquelle les distances décroissent plus vite que l'inverse, c'est-à-dire en $o(1/n)$ avec la notation de Landau.

En d'autres termes, la conjecture dit que pour tout $\alpha$ et $\beta$ il y a une infinité d'entiers $n$, tel que l'égalité soit réalisée.

Connexion à d'autres conjectures

On sait que la conjecture est une conséquence d'un résultat en géométrie des nombres, concernant le minimum, pour un point d'un réseau non nul dun produit de trois formes linéaires en trois variables réelles : l'implication a été montrée en 1955 par John Cassels et Peter Swinnerton-Dyer. Elle peut être formulée d'une autre manière, en termes de théorie des groupes. Il existe une autre conjecture, pour $n\geq 3$ : elle s'exprime en termes de $G=SL_{n}(\mathbb {R} )$, $\Gamma =SL_{n}(\mathbb {Z} )$Γ = SL_n(Z) et du sous-groupe $D$ des matrices diagonales dans $G$.

Théorème — pour tout g dans G/Γ tel que Dg soit relativement compact (dans G/Γ), alors Dg est fermé.

Ceci à son tour est un cas particulier d'une conjecture générale de Margulis sur les groupes de Lie.