Fonction êta de Dedekind

La fonction eta de Dedekind est une fonction définie sur le demi-plan de Poincaré formé par les nombres complexes de partie imaginaire positive. Pour chaque nombre complexe $\tau$ dans cet ensemble, on définit q = e^2iπτ et la fonction eta est alors

$\eta (\tau )=q^{1/24}\prod _{n=1}^{\infty }(1-q^{n})$

La fonction eta est holomorphe dans le demi-plan supérieur mais n'admet pas de prolongement analytique en dehors de cet ensemble.

La fonction eta vérifie les équations fonctionnelles :

$\eta (\tau +1)=\exp(2\pi i/24)\eta (\tau )$

$\eta (-1/\tau )={\sqrt {-i\tau }}\eta (\tau )$

Plus généralement,

$\eta \left({\frac {a\tau +b}{c\tau +d}}\right)=\epsilon (a,b,c,d)\left(-i(c\tau +d)\right)^{1/2}\eta (z)$

où a,b,c,d sont des entiers tels que ad-bc=1, qui sont donc associés à une transformation appartenant au groupe modulaire, et

$\epsilon (a,b,c,d)=\exp i\pi \left({\frac {a+d}{12c}}+s(-d,c)\right)$

où s(h,k) est la somme de Dedekind

$s(h,k)=\sum _{n=1}^{k-1}{\frac {n}{k}}\left({\frac {hn}{k}}-\left\lfloor {\frac {hn}{k}}\right\rfloor -{\frac {1}{2}}\right)$

A cause des équations fonctionnelles, la fonction eta est une forme modulaire de poids 1/2. On peut s' en servir pour définir d'autres formes modulaires. En particulier, le discriminant modulaire de Weierstrass peut être défini comme

$\Delta (\tau )=(2\pi )^{12}\eta (\tau )^{24}$.

La fonction Δ est une forme modulaire de poids 12. Comme la fonction eta est facile à calculer, il est souvent utile d'exprimer, quand c'est possible, d'autres fonctions comme produits et quotients de fonctions etas. Ceci est possible pour beaucoup de formes modulaires.

Références

• Jean-Pierre Serre, Cours d'arithmétique, 1970 [détail des éditions]
• Tom M. Apostol, Modular functions and Dirichlet Series in Number Theory (1990), Springer-Verlag, New York. ISBN 0-387-97127-0 Voir chapitre 3.