Rayon (géométrie)

En géométrie, un rayon d'un cercle ou d'une sphère est un segment de droite quelconque reliant son centre à sa circonférence. Par extension, le rayon d'un cercle ou d'une sphère est la longueur de chacun de ces segments. Le rayon est la moitié du diamètre. En sciences et en ingénierie, le terme rayon de courbure est souvent utilisé comme synonyme de rayon.

Plus généralement — en géométrie, ingénierie, théorie des graphes et dans nombre d'autres contextes — le rayon de quelque chose (par exemple un cylindre, un polygone, un graphe ou une pièce mécanique) est la distance de son centre ou axe de symétrie à ses points de surface les plus éloignés. Dans ce cas, le rayon peut être plus grand que la moitié du diamètre^{[réf. nécessaire]}.

La relation entre le rayon r et la circonférence c d'un cercle est $r={\frac {c}{2\pi }}$ .

Rayon d'un cercle

Pour calculer le rayon R d'un cercle passant par trois points A, B, C, la formule suivante peut être utilisée (voir Théorème de l'angle inscrit, Angle inscrit dans un demi-cercle et figure ci-contre) :

$R={\frac {a}{2\sin \alpha }}$ , où $a$ est la longueur du côté [B, C] et α est l'angle ⦟BAC.

Si les trois points sont donnés par leurs coordonnées $(x_{1},y_{1})$ , $(x_{2},y_{2})$ et $(x_{3},y_{3})$ , on peut aussi utiliser la formule suivante (voir Loi des sinus et Aire d'un triangle) :

$R={\frac {\sqrt {\left(\left(x_{2}-x_{1}\right)^{2}+\left(y_{2}-y_{1}\right)^{2}\right)\left(\left(x_{2}-x_{3}\right)^{2}+\left(y_{2}-y_{3}\right)^{2}\right)\left(\left(x_{3}-x_{1}\right)^{2}+\left(y_{3}-y_{1}\right)^{2}\right)}}{2\left|x_{1}y_{2}+x_{2}y_{3}+x_{3}y_{1}-x_{1}y_{3}-x_{2}y_{1}-x_{3}y_{2}\right|}}$ .

Rayon d'une ellipse

Article connexe : Ellipse (mathématiques).

Articles détaillés : Grand axe, Petit axe et Excentricité (mathématiques).

On peut définir plusieurs notions de rayon pour l'ellipse de demi-grand axe $a$ et de demi petit axe $b$ .

Le "rayon moyen", égal à la moyenne arithmétique des demi-axes : $R_{1}=(a+b)/2$

Le rayon surfacique, ou rayon d'un cercle d'aire (surface) égale à celle de cette ellipse.

Il est égal à la racine carrée du produit des deux demi-axes de l'ellipse :

R_{2}={\sqrt {ab}}=a{\sqrt[{4}]{1-e^{2}}}

où

e

est l'excentricité de l'ellipse

C'est donc la moyenne géométrique des rayons du cercle principal de rayon $a$ , et du cercle secondaire, de rayon $b$ .

Un autre rayon remarquable de l'ellipse est la distance moyenne d'un point parcourant l'ellipse à vitesse constante au foyer de cette ellipse. Ce rayon, qui est par définition égal à $R_{3}={{\int _{0}^{2\pi }{{\sqrt {(a(\cos t-e)^{2}+b^{2}\sin ^{2}t}}\,{\sqrt {a^{2}\sin ^{2}t+b^{2}\cos ^{2}t}}\,\mathrm {d} t}} \over {\int _{0}^{2\pi }{{\sqrt {a^{2}\sin ^{2}t+b^{2}\cos ^{2}t}}\,\mathrm {d} t}}}$ se simplifie en la valeur $R_{3}=a$ du demi-grand axe.

La distance moyenne à vitesse constante au centre de l'ellipse $R_{4}={{\int _{0}^{2\pi }{{\sqrt {a^{2}\cos ^{2}t+b^{2}\sin ^{2}t}}\,{\sqrt {a^{2}\sin ^{2}t+b^{2}\cos ^{2}t}}\,\mathrm {d} t}} \over {\int _{0}^{2\pi }{{\sqrt {a^{2}\sin ^{2}t+b^{2}\cos ^{2}t}}\,\mathrm {d} t}}}$ ne donne pas, elle, une valeur simple.

La distance moyenne à vitesse angulaire constante au centre de l'ellipse $R_{5}={1 \over {2\pi }}{\int _{0}^{2\pi }{{\sqrt {a^{2}\cos ^{2}t+b^{2}\sin ^{2}t}}\,\mathrm {d} t}}$ est égale, elle, à $L \over {2\pi }$ où $L$ est la longueur de l'ellipse. C'est donc le rayon d'un cercle de longueur égale à celle de l'ellipse.

Rayon d'un ellipsoïde

Rayon moyen

Le "rayon moyen" est égal la moyenne arithmétique des 3 demi-axes :

R_{1}={\frac {a+b+c}{3}}

.

Rayon volumétrique

Le rayon volumétrique est le rayon d'une sphère fictive de volume égal à celui de l'ellipsoïde considéré.

Il est égal à la moyenne géométrique des demi-axes :

R_{2}={\sqrt[{3}]{abc}}

.

Rayon authalique

Le rayon authalique est le rayon d'une sphère fictive d'aire (surface) égale à l'aire $S$ de l'ellipsoïde considéré, donc $R_{3}={\sqrt {S/4\pi }}$ .

Par exemple dans le cas d'un ellipsoïde de révolution allongé (rotation d'une ellipse autour de son grand axe) $R_{3}={\sqrt {{\frac {b^{2}}{2}}+{\frac {ab}{2}}{\frac {\arcsin e}{e}}}}$

Rayon d'un polygone

Un rayon d'un polygone régulier est un segment reliant le centre de ce polygone à l'un de ses sommets. Sa longueur est par conséquent le rayon du cercle circonscrit à ce polygone.

Le rayon d'un polygone de côté c et à n côtés est donc égal à

${\sqrt {\frac {c^{2}}{2-2\cos(2\pi /n)}}}={\frac {c}{2\sin(\pi /n)}}$

ou encore, en fonction de la longueur de l'apothème h, à

${\frac {h}{\cos(\pi /n)}}$ .

Rayons de la Terre

Données

Rayon	Valeur en kilomètres	Commentaire
maximal	6 384,4	au sommet du Chimborazo
minimal	6 352, 8
équatorial	6 378,8	demi-grand axe de l'ellipsoïde de référence
polaire	6 356,8	demi-petit axe de l'ellipsoïde de référence
moyen	6 371,009
authalique	6 371,007 2
volumétrique	6 371,000 8

Historique

La première mesure du rayon de la Terre en astronomie a été conçue par Ératosthène. Son calcul est le suivant : le Soleil est si éloigné que ses rayons arrivent parallèlement en tout point de la Terre. Il a lu qu'à Syène, les rayons tombent verticalement dans un puits le jour du solstice d'été. Cela veut dire que le Soleil passe par le zénith, il n'y a alors pas d'ombre. Plus au nord, au même instant, les rayons atteignent Alexandrie sous un angle non nul, qu'il mesure. L'angle mesuré est de un cinquantième de cercle. Cela signifie que la circonférence de la Terre est cinquante fois plus grande que la distance Syène-Alexandrie. Il avait lu également que les caravanes de chameaux partant de Syène mettaient cinquante jours pour arriver à Alexandrie en parcourant cent stades par jour. Il calcula que la distance entre les deux villes de la vallée du Nil était de 5 000 stades. Le stade équivaut à 158 m.

Par la mesure de l'ombre portée par ces objets de hauteur connue situés en deux points de latitude différente, il trouve la valeur de 250 000 stades pour la longueur du méridien, c'est-à-dire la circonférence terrestre. Cette mesure est exacte à 2 % près. Il en déduisit le rayon terrestre.

Utilisation

Le rayon terrestre est utilisé pour de nombreux calculs astronomiques comme le calcul de la parallaxe diurne d'un astre :

Parallaxe diurne : deux observateurs se placent en deux points A et B de la Terre les plus éloignés possible et notent la configuration des étoiles entourant l'astre observé. Ils peuvent ainsi calculer les angles