Angle
Histoire
Le mot angle dérive du latin angulus, mot qui signifie « le coin ». Selon le mathématicien Carpos d'Antioche, l'angle est une quantité et l'intervalle des lignes ou des surfaces qui le comprennent ; cet intervalle est dimensionné d'une seule manière, et pourtant l'angle n'est pas une ligne pour cela.
L'angle comme figure du plan ou de l'espace
Secteur angulaire et angle
Dans le plan, deux demi-droites de même origine délimitent deux régions, appelées secteurs angulaires.
On dit que deux secteurs angulaires définissent le même angle lorsqu'ils sont superposables (plus formellement : l'angle d'un secteur angulaire est sa classe de congruence). On parle traditionnellement d'angle géométrique pour cette notion d'angle[1] mais ce terme peut aussi désigner, dans la terminologie moderne, une notion voisine moins fine (voir infra).
Un angle est dit saillant si les secteurs angulaires qui le représentent sont convexes, et rentrant sinon.
Une paire de demi-droites de même origine définit donc en général deux angles : l'un saillant et l'autre rentrant (le cas exceptionnel est celui de l'angle plat).
Dans le plan, on peut parler de l'angle de deux droites sécantes. Deux droites sécantes découpent le plan en 4 secteurs angulaires saillants, correspondant à deux paires d'angles opposés par le sommet. Les angles opposés sont égaux et les angles adjacents sont supplémentaires[2]. Il y a en général deux valeurs possibles pour ces angles. On choisit parfois de privilégier le plus petit des angles, c'est-à-dire l'angle aigu ou droit
Valeur d'un angle
La mesure de l'angle d'un secteur angulaire est le nombre réel positif qui mesure la proportion du plan occupée par le secteur angulaire. Les unités utilisées pour le quantifier sont le radian, le quadrant et ses subdivisions, le degré, ses sous-unités et le grade. Les angles sont fréquemment notés par une lettre grecque minuscule, par exemple α, β, θ, ρ… Lorsque l'angle est au sommet d'un polygone et qu'il n'y a pas d'ambiguïté, on utilise alors le nom du sommet surmonté d'un chapeau, par exemple Â.
Pour évaluer cet angle, cette « proportion de surface », on prend un disque centré au point d'intersection, et on effectue le rapport entre l'aire de la portion de disque interceptée par le secteur angulaire et l'aire totale du disque. On peut montrer que cela revient également à faire le rapport entre la longueur de l'arc intercepté et la circonférence du cercle ; cette valeur inférieure à 1 est appelée nombre de tour. La valeur 1/4 (quart de tour) correspond au quadrant.
Une unité couramment utilisée est le degré, qui est le résultat de la division du quadrant en 90 parts égales. Le tour complet correspond donc à 360 degrés. La minute d'arc est un sous-multiple du degré, égale à 1/60 de degré. De même, la seconde d'arc est égale à 1/60 de la minute d'arc, soit 1/3 600 de degré. On utilise plus rarement le grade, qui correspond à une subdivision centésimale du quadrant.
L'unité internationale de mesure des angles est cependant le radian, défini comme le rapport entre la longueur de l'arc intercepté et le rayon du cercle. Le tour complet correspond donc à radians.
Les angles peuvent être calculés à partir des longueurs des côtés de polygones, notamment de triangles, en utilisant la trigonométrie.
L'unité de mesure des angles utilisée principalement par les militaires est le millième. Il est l'angle sous lequel on voit 1 mètre à 1 kilomètre. 6283 millièmes correspond à 2π radians ou 360 degrés, soit 360°/arctan(1 m/1 000 m). Autrement-dit, millième = mrad (milliradian).
« Sur le terrain », les angles peuvent être mesurés avec un appareil appelé goniomètre ; il comporte en général une règle courbe graduée en degrés, appelée rapporteur.
En informatique, le 1/16ième de degré peut être utilisé, soit 5760 pour 360°.
- Les mathématiques, CEPL, coll. « Les encyclopédies du savoir moderne », (lire en ligne), p. 154.
- Nadine Jacob, Claude Courivaud, Mathématiques. Troisième, Séquence Brevet, Bréal, p. 200