Retard de groupe et retard de phase

En traitement du signal, le temps de propagation de groupe ou retard de groupe est le retard infligé par un filtre, en secondes, de l'enveloppe en amplitude pour un signal à bande étroite. Le retard de phase est le retard (en secondes) de chaque composante fréquentielle calculé à partir de la réponse en phase du filtre. Le temps de propagation de groupe et le retard de phase dépendent en général de la fréquence, à l'exception d'un filtre à phase linéaire dont le retard de groupe et de phase sont constants et sont tous deux égaux.

Mathématiquement, le retard de groupe $\tau _{g}(\omega )$ et retard de phase $\tau _{\phi }(\omega )$ sont calculés par les formules

$\tau _{g}(\omega )=-{\frac {d\phi (\omega )}{d\omega }}\$

$\tau _{\phi }(\omega )=-{\frac {\phi (\omega )}{\omega }}\$ .

où $\phi (\omega )$ désigne la phase de la fonction de transfert en fonction de la pulsation.

Fondement

Diagramme de Bode d'un filtre passe-bande. Le retard de groupe correspond à l'opposé de la pente de la tangente

Tout système linéaire introduit un retard (ou délai) sur chacune des composantes fréquentielles du signal. À moins que le système soit à phase linéaire, ce retard est différent pour chaque composante fréquentielle. La variation de ce retard entraîne une distorsion sur le signal (distorsion de phase) car chaque composante n'est pas retardée de la même façon. Ces distorsions se constatent par les non-linéarités du tracé de la phase du diagramme de Bode et peuvent être quantifiées par les variations du temps de propagation de groupe et retard de phase par rapport à la fréquence.

Le retard de phase a la justification mathématique la plus directe. Pour une entrée harmonique

$x(t)=e^{i\omega t}\$

la sortie est

${\begin{aligned}y(t)=|H(i\omega )|\ e^{i\left(\omega t+\phi (\omega )\right)}\ \\\end{aligned}}\$.

Si l'on souhaite interpréter le déphasage en termes de retard, on identifie $e^{i\left(\omega t+\phi (\omega )\right)}$ à $e^{i\left(\omega (t-\tau _{\phi }(\omega ))\right)}$, ce qui amène à $-\omega \tau _{\phi }(\omega )=\phi (\omega )[2\pi ]$. En ignorant la congruence, on a

$\tau _{\phi }(\omega )=-{\frac {\phi (\omega )}{\omega }}.$

Le temps de propagation de groupe s'interprète en considérant plusieurs composantes fréquentielles dans le domaine temporel.

Illustration de la signification du temps de propagation de groupe pour un paquet d'onde localisé en temps et en fréquence

Soit un signal à bande étroite de fréquence centrale $\omega$ localisé en temps. L'entrée s'écrit

$x(t)={\frac {1}{2\pi }}\int _{\Omega }{\hat {A}}(\Omega )e^{i(\omega +\Omega )t}d\Omega$

où ${\hat {A}}(\Omega )$ est la transformée de Fourier de l'enveloppe $A(t)$ (modulation en amplitude de l'exponentielle complexe). Sous l'hypothèse que ${\hat {A}}(\Omega )$ est concentrée autour de 0, sur un ensemble de valeurs $\Omega$ négligeables devant $\omega$, la sortie du filtre s'approxime par

$y(t)={\frac {1}{2\pi }}|H(i(\omega ))|\int _{\Omega }{\hat {A}}(\Omega )e^{i\left[(\omega +\Omega )t+\phi (\omega )+{\frac {d\phi (\omega )}{d\omega }}\Omega \right]}d\Omega$

$y(t)={\frac {1}{2\pi }}|H(i(\omega ))|\int _{\Omega }\left[{\hat {A}}(\Omega )e^{i{\frac {d\phi (\omega )}{d\omega }}\Omega }\right]e^{i\left[(\omega +\Omega )t+\phi (\omega )\right]}d\Omega$.

(on n'a pas fait apparaître le terme d'ordre 1 lié au module qui n'est pas d'intérêt ici)

Or ${\hat {A}}(\Omega )e^{i{\frac {d\phi (\omega )}{d\omega }}\Omega }$ est la transformée de Fourier de l'enveloppe translatée $A(t-\tau _{g})$ avec $\tau _{g}$ le temps de propagation de groupe défini par

$\tau _{g}(\omega )=-{\frac {d\phi (\omega )}{d\omega }}\$.

$\tau _{g}(\omega )$ est ainsi le retard d'un paquet d'onde localisé en temps et en fréquence.

Voir aussi

• Filtre de Bessel : filtre RII approximant un filtre à phase linéaire
• Filtre à minimum de phase : Filtre qui pour une réponse en gain fixée minimise le temps de propagation de groupe
• Vitesse de groupe et vitesse de phase : On peut considérer la propagation d'une onde progressive comme l'action d'une ligne à retard dont la valeur du retard dépend de la position. Pour une onde monochromatique ce retard est ${\frac {d}{v_{\phi }(\omega )}}={\frac {k(\omega )d}{\omega }}$ avec $k{(\omega )}$ le nombre d'onde, $v_{\phi }$ la vitesse de phase et $d$ la distance au plan $\phi =0$ dans la direction du vecteur d'onde. Dans ce cas la vitesse de phase est la distance $d$ divisé par le retard de phase. De même la vitesse de groupe est $d$ divisé par le temps de propagation de groupe.

Références

• (en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Group delay and phase delay » (voir la liste des auteurs).