Déformation élastique

c'est la loi de Hooke ; E est le module de Young (en anglais : Young's modulus), qui est une caractéristique du matériau. E est également homogène à une pression, du fait des valeurs très élevées qu'il prend, il est généralement exprimé en gigapascals (GPa).

On voit aisément que la densité d'énergie de déformation w, c'est-à-dire l'énergie élastique divisée par le volume de la pièce, vaut :

w = 1/2 · σ · ε = 1/2 · E ε²

Lorsque l'on exerce une traction ou une compression, on constate que la largeur de la pièce varie également, à l'inverse de l'allongement. La variation relative de dimension est proportionnelle à l'allongement relatif ε, le coefficient de proportionnalité s'appelle le coefficient de Poisson ou rapport de Poisson (en anglais : Poisson's ratio) en hommage au mathématicien français Siméon Denis Poisson. Il est noté ν et est sans unité :

• pour un cylindre :

${\frac {\Delta r}{r_{0}}}=-\nu \cdot {\frac {\Delta l}{l_{0}}}=-\nu \cdot \varepsilon$

• pour un parallélépipède rectangle :

${\frac {\Delta a}{a_{0}}}=-\nu \cdot {\frac {\Delta l}{l_{0}}}=-\nu \cdot \varepsilon$

${\frac {\Delta b}{b_{0}}}=-\nu \cdot {\frac {\Delta l}{l_{0}}}=-\nu \cdot \varepsilon$

Considérons le volume de la pièce. Pour une pièce cylindrique, on a :

V = l × π r ²

Pour des petites variations, on a donc :

ΔV/V₀ = Δl/l₀ + 2·Δr/r₀

(développement limité au premier ordre), soit :

ΔV/V₀ = (1 - 2ν) · ε

De même pour une pièce parallélépipédique, on a :

V = l × a × b

ΔV/V₀ = Δl/l₀ + Δa/a₀ + Δb/b₀

donc de même :

ΔV/V₀ = (1 - 2ν) · ε

On voit donc que :

si ν > 0,5 le volume diminue en traction et augmente en compression (cas exceptionnel) ;

si ν < 0,5 le volume augmente en traction et diminue en compression (comportement le plus général).

Pour un acier, ν vaut environ 0,3, on est donc dans le second cas.

Si maintenant on maintient la largeur constante — par exemple on effectue une compression mais la pièce est dans une gaine ultra-rigide et ne peut pas s'étendre —, alors, la déformation n'est plus uniaxiale, la gaine exerce une pression (une contrainte) sur les côtés de la pièce. Il faut alors utiliser un autre coefficient élastique, noté C₁₁, différent de E :

σ = C₁₁ · ε

Cisaillement

Si l'on considère un parallélépipède rectangle, le cisaillement est une variation de l'angle, qui n'est plus droit. Cela correspond à des forces s'exerçant parallèlement à la face.

On définit de même la contrainte comme étant la force divisée par la surface sur laquelle elle s'exerce ; cette contrainte est appelée cission (toujours exprimée en MPa) et est notée τ.

La déformation est l'écart à l'angle droit γ, appelé cisaillement, exprimé en radians.

On a toujours une loi linéaire :

τ = G · γ

où G est le module de cisaillement ou module de Coulomb, généralement exprimé en GPa. Dans le cas d'un milieu isotrope, le module de cisaillement est lié au module de Young et au coefficient de Poisson par la relation suivante :

$G={\frac {E}{2\;(1+\nu )}}$

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Note : dans l'article Tenseur des déformations, l'angle γ défini vaut la moitié de l'angle γ défini ici.

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Compression isostatique

Une compression isostatique est l'exercice d'une pression isotrope, c'est-à-dire qui a la même valeur dans toutes les directions. Si l'on désigne par V le volume de l'objet, la variation de volume relative est proportionnelle à la variation de la pression P :

$\Delta P=-K\cdot {\frac {\Delta V}{V_{0}}}$

où K est le module d'élasticité à la compression isostatique (en anglais : bulk modulus). On remarque que K est l'inverse du coefficient de compressibilité isotherme χ_T défini en thermodynamique par :

${\frac {1}{K}}=\chi _{T}=-{\frac {1}{V}}\cdot \left({\frac {\partial V}{\partial P}}\right)_{T}$

K est aussi homogène à une pression et est généralement exprimé en gigapascals (GPa). On a :

Matériau	K (GPa)
acier	160
eau	2,2
air	0,0001

Dans le cas d'un milieu isotrope, le module d'élasticité isostatique K, le module de Young E et le module de cisaillement G sont liés par la relation suivante :

${\frac {1}{E}}={\frac {1}{9\;K}}+{\frac {1}{3\;G}}$

Cas des grandes déformations

La définition que l'on a prise de ε dépend du trajet suivi. Considérons une déformation finale de ε₁ + ε₂. Si l'on fait la déformation en une étape, la longueur finale est

l = l₀(1 + ε₁ + ε₂)

Si par contre on déforme d'abord de ε₁, on a une première longueur

l = l₀(1 + ε₁)

qui devient la longueur initiale pour l'étape suivante, donc lorsque l'on rajoute une déformation ε₂, on obtient

l = l₀(1 + ε₁)(1 + ε₂)

En développant cette dernière formule, on voit que les deux sont équivalentes si

ε₁ · ε₂ ≪ ε₁ et ε₁ · ε₂ ≪ ε₂

soit, de manière synthétique, si

ε² ≪ ε, soit ε ≪ 1 ;

c'est l'hypothèse des petites déformations.

Pour les grandes déformations, on peut utiliser une autre définition de ε :

$\varepsilon =\ln \left({\frac {l}{l_{0}}}\right)$

on voit que si l et l₀ sont proches, le développement limité de cette formule redonne la définition de ε des petites déformations.

Pourquoi les lois sont-elles linéaires ?

De manière générale, toute loi peut localement (c'est-à-dire pour de petites variations) se remplacer par un développement limité du premier ordre, ou « approximation linéaire », à condition que la tangente de la loi ne soit pas horizontale autour du point considéré. Les lois élastiques sont donc des approximations linéaires du comportement réel, plus complexe.

Plus précisément, l'explication de la linéarité se trouve dans la forme du potentiel interatomique W(r), où r est la distance entre deux atomes.

À une température de 0 K, la distance entre deux atomes est r₀. Si l'on s'éloigne un peu de cette valeur, l'énergie W augmente ; on peut localement approcher la loi de W par une parabole (il s'agit en fait d'un développement limité au second ordre), on peut donc écrire :

W(r) = W₀ + k · (r - r₀)².

La force étant la dérivée de l'énergie potentielle, on voit que les atomes sont soumis à une force de rappel (qui tend à faire revenir à r₀) qui vaut :

F = 2k · (r - r₀)

qui est bien une loi linéaire.

Déformations complexes

Jusqu'ici, des exemples de déformation très simples ont été montrés : traction uniaxiale, cisaillement, compression isostatique, sur un parallélépipède rectangle. Les applications réelles correspondent à des pièces et des sollicitations plus complexes, nécessitant de décrire la déformation et les contraintes par des matrices, des tenseurs, voir les articles :

• Tenseur des déformations
• Tenseur des contraintes

Cas des gaz

Un gaz est constitué de molécules qui volent et s'entrechoquent. Elles se cognent également aux parois du récipient contenant le gaz, ce qui crée la pression. L'énergie cinétique moyenne d'une molécule est proportionnelle à la température absolue (en kelvins) :

$E_{c}={\frac {3}{2}}\cdot k\cdot T$

$k$ étant la constante de Boltzmann.

La pression du gaz sur les parois dépend donc du nombre de chocs par seconde et de la force de chaque choc, cette force dépendant de l'énergie cinétique. Si l'on diminue le volume de l'enveloppe en maintenant la température constante (compression isotherme), on augmente la fréquence des chocs donc la pression. À l'inverse, si l'on agrandit l'enveloppe, on diminue la fréquence des chocs, et donc on diminue la pression. Ceci se retrouve dans les lois de comportement des gaz, par exemple dans la loi des gaz parfaits, la pression est inversement proportionnelle au volume :

$P\propto {\frac {1}{V}}$

(la constante de proportionnalité vaut $nRT$ où $n$ est la quantité de gaz et $R$ est la constante universelle des gaz parfaits). Si l'on prend un cylindre de section $S$ constante et de longueur $l$ variable par l'action d'un piston, on a :

$F=P\cdot S={\frac {A}{l}}$

soit pour de petites variations (développement limité de la fonction ${\frac {1}{l}}$ autour de $l_{0}$) :

$\Delta F\simeq -{\frac {A}{l_{0}^{2}}}\cdot (l-l_{0})$

qui est une loi linéaire (ou plutôt affine) en $l$.

On a bien un comportement élastique pour les gaz isothermes soumis à de faibles variations de volume.

Voir les articles Théorie cinétique des gaz et Pression cinétique.

Exemple des ressorts

Le cas le plus simple de déformation élastique est celui des ressorts.

Trois exemples de ressorts : ressort à spires non-jointives sollicité selon son axe (fig. de gauche), ressort à lame sollicité en flexion (au centre), ressort à lame sollicité en torsion (à droite).

Sur les dessins, la réaction du support auquel est accroché le ressort n'est pas représentée. Mais il faut bien voir que la déformation résulte de l'application de deux actions mécaniques opposées (forces et/ou couples) ; s'il n'y a qu'une seule force, en application du principe fondamental de la dynamique, la force accélère le ressort sans provoquer de déformation, on se ramène à la mécanique du point.

Lorsque les lois de déformation sont linéaires, le coefficient de proportionnalité est appelé raideur du ressort et est noté k :

• F = k₁ · Δl pour une traction-compression ;
• F = k₂ · θ pour une flexion ;
• C = k₃ · θ pour une torsion.

On remarque que les coefficients k₁, k₂ et k₃ ne sont pas homogènes (ils n'ont pas la même dimension). L'angle θ doit être exprimé en radians.

Dans le cas d'un ressort à spires non-jointives, l'énergie de déformation élastique W est le travail de la force :

$W=\int _{0}^{\Delta l}F\cdot dl$

C'est donc la surface du triangle délimité par la droite dans le graphique (Δl,F), soit

W = 1/2 k₁ Δl ² = 1/2 · F · Δl

Illustration graphique de l'énergie de déformation élastique dans le cas d'un ressort à spires non-jointives.

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Note : sur la première figure, un graphique montrant la déformation en fonction de la force a été utilisé, par exemple (F,Δl). Sur la deuxième figure, les axes sont inversés et la force est représentée en fonction de la déformation (Δl,F). Si la première représentation semble plus intuitive (on se représente la force comme la cause de la déformation), les deux sont équivalentes. C'est de fait la seconde, (Δl,F), qui est la plus utilisée, les essais de traction se faisant à déformation imposée croissante (voir l'explication dans l'article essais mécaniques).

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Bibliographie

• Mekaouche, A., Chapelle, F. et Balandraud, X., Obtention de rigidité variable d'une structure robotique par l'utilisation d'un alliage à mémoire de forme, 2015, S07 Mécanique des structures.

Voir aussi

Articles connexes

• Lois de déformation
• Rhéologie des solides

Liens externes

• Théorie de l'élasticité des corps solides, É. Mathieu (1835-1890), Traité de physique mathématique (sur Gallica).
• Tenseurs contrainte/déformation - loi de comportement élastique isotrope, orthotrope, manuel de référence du logiciel de calcul de structure ICAB Force.
• Tutoriel sur la déformation élastique d'une structure de poutres en nid d'abeille, Univ. Cambridge.