Convergence normale

En analyse, la convergence normale est l'un des modes de convergence d'une série de fonctions. Si $(f_{n})$ est une suite de fonctions à valeurs réelles ou complexes définies sur un même ensemble X, la série de terme général $f_{n}$ converge normalement sur X s'il existe une suite de réels u_n tels que :

1. pour tout n, $|f_{n}|$ est majorée par u_n sur X ;
2. la série de terme général u_n converge.

La convergence normale d'une telle série implique sa convergence uniforme. Par conséquent, tous les résultats qui concernent la convergence uniforme sont aussi valables pour la convergence normale. En particulier si l'ensemble X est muni d'une topologie :

• La somme d'une série de fonctions continues qui converge normalement est une fonction continue.

La convergence normale d'une série implique également sa convergence absolue en tout point.

A fortiori, la convergence normale d'une série implique sa convergence simple, autrement dit la convergence de la série en tout point.

Les implications réciproques sont fausses.

Histoire

La notion de convergence normale a été introduite par René Baire dans Leçons sur les théories générales de l'analyse publié en 1907-1908

Espaces vectoriels normés

Les fonctions bornées sur X à valeurs réelles ou complexes, munies de la norme infinie, forment un espace de Banach, c'est-à-dire un espace vectoriel normé complet. La convergence normale d'une série de telles fonctions se réinterprète comme la convergence absolue dans cet espace : la série de terme général $f_{n}$ converge normalement sur X si

$\sum _{n}\|f_{n}\|_{\infty }<\infty .$

Exemples

La série de terme général $f_{n}(x)={\frac {2x}{x^{2}-n^{2}}}$ converge normalement sur tout compact de R\Z.

$\pi \cot(\pi x)={\frac {1}{x}}+\sum _{n\in \mathbb {N} ^{*}}{\frac {2x}{x^{2}-n^{2}}}$.

Soit $g_{n}(x)={\frac {\sin ^{2}x}{n}}$ si $x\in \left]n\pi ,(n+1)\pi \right[$, et 0 sinon. La série $\sum _{n}\|g_{n}\|_{\infty }$ diverge, mais pour tout $x$, il y a au plus un terme non nul donc $\sum _{n}g_{n}$ converge uniformément (et absolument en tout point, puisqu'elle est à termes positifs).