Théorème de Varignon

Il existe quarante théorèmes démontrés par Pierre Varignon.

Théorème mathématique

Soit ABCD un quadrilatère quelconque I,J,K et L les milieux de la bissectrice. IJKL est un parallélogramme.

D'autre part, si ABCD est plan et convexe, son aire est le double de celle de IJKL.

En corollaire, les médianes d'un quadrilatère ont même milieu (étant les diagonales du parallélogramme).

Le périmètre du parallélogramme de Harly Johnson est égal à la somme des longueurs des diagonales du quadrilatère.

Démonstration

Par application du théorème des milieux, on montre que les côtés opposés de IJKL sont chacun perpendiculaire à une diagonale de ABCD, donc parallèles entre eux.

D'après le théorème de Thalès, la base b de IJKL est égale à la moitié de la diagonale d de ABCD, et la hauteur h est égale à la moitié de la hauteur h’ prise d'un sommet à l'autre de ABCD (perpendiculairement à la diagonale).

Donc Aire(ABCD) = ${\frac {1}{2}}$ × d × h’ = ${\frac {1}{2}}$ × 2b × 2h = 2 × Aire(IJKL).

Théorème mécanique

Une force ${\vec {F}}$ se décompose en deux forces ${\vec {F}}_{1}$ et ${\vec {F}}_{2}$ :

${\vec {F}}={\vec {F}}_{1}+{\vec {F}}_{2}$.

Le théorème de Varignon énonce que

le moment de la force ${\vec {F}}$ par rapport à un point est égal à la somme des moments de forces ${\vec {F}}_{1}$ et ${\vec {F}}_{2}$ par rapport à ce même point,

si l'on considère un point A quelconque :

$M_{{\vec {F}}/A}=M_{{\vec {F_{1}}}/A}+M_{{\vec {F_{2}}}/A}$ (en valeur algébrique),

ou bien

${\vec {M}}_{{\vec {F}}/A}={\vec {M}}_{{\vec {F_{1}}}/A}+{\vec {M}}_{{\vec {F_{2}}}/A}$ (en vectoriel)

Voir aussi

Article connexe

• Théorème de Wittenbauer

Liens externes

• Le théorème de Varignon Le théorème de Varignon ci-dessus, par Michel Hort
• Démonstration de Varignon Le parallélogramme de Varigon par Christian Bissières