Fonction de Leibniz

En géométrie affine ou euclidienne, les fonctions vectorielles et scalaires de Leibniz sont des fonctions qui, à des points, associent des vecteurs (fonction vectorielle) ou des nombres (fonction scalaire). Ces fonctions sont très intimement liées à la notion de barycentre qui permet d'en donner une forme simplifiée.

Fonction vectorielle de Leibniz

On se place dans un espace affine E associé à un espace vectoriel V. Soient $(A_{i})_{i=1\cdots n}$ une famille de n points et $(a_{i})_{i=1\cdots n}$ une famille de n scalaires, on appelle fonction vectorielle de Leibniz associée au système $\left\{\left(A_{i},a_{i}\right)_{i=1\cdots n}\right\}$, l'application de E dans V qui, au point M associe le vecteur ${\vec {f}}(M)=\sum _{i=1}^{n}a_{i}{\overrightarrow {MA_{i}}}$

Si la somme des coefficients $\sum _{i=1}^{n}a_{i}$ est nulle, cette fonction est constante. Si un des coefficients est non nul (par exemple $a_{1}$), cette constante est égale à $a_{1}{\overrightarrow {G_{1}A_{1}}}$ où $G_{1}$ est le barycentre du système $\left\{\left(A_{i},a_{i}\right)_{i=2\cdots n}\right\}$

Si la somme des coefficients $\sum _{i=1}^{n}a_{i}$ est non nulle, cette fonction se simplifie en

${\vec {f}}(M)=\left(\sum _{i=1}^{n}a_{i}\right){\overrightarrow {MG}}$

où G est le barycentre du système de points pondérés $\left\{\left(A_{i},a_{i}\right)_{i=1\cdots n}\right\}$.

Cette dernière propriété permet de réduire une combinaison linéaire de plusieurs vecteurs en un seul vecteur grâce à un barycentre. Elle permet aussi de donner les coordonnées du barycentre quand l'espace est de dimension finie.

En effet ${\overrightarrow {OG}}={\frac {1}{\sum _{i=1}^{n}a_{i}}}{\vec {f}}(O)={\frac {1}{\sum _{i=1}^{n}a_{i}}}\sum _{i=1}^{n}a_{i}{\overrightarrow {OA_{i}}}$.

Ce qui se traduit en termes de coordonnées par

$x_{G,k}={\frac {1}{\sum _{i=1}^{n}a_{i}}}\sum _{i=1}^{n}a_{i}x_{A_{i},k}$

Fonction scalaire de Leibniz

On se place dans un espace affine euclidien sur un corps $\mathbb {K}$. Soient $(A_{i})_{i=1\cdots n}$ une famille de n points et $(a_{i})_{i=1\cdots n}$ une famille de n scalaires, on appelle fonction scalaire de Leibniz associée au système $\left\{\left(A_{i},a_{i}\right)_{i=1\cdots n}\right\}$, l'application de E dans $\mathbb {K}$ qui, au point M associe le scalaire $f(M)=\sum _{i=1}^{n}a_{i}MA_{i}^{2}$

Si la somme des coefficients est nulle, cette fonction se simplifie en

$f(M)=f(O)+2{\overrightarrow {MO}}\cdot {\vec {u}}$

où ${\vec {u}}$ est la constante égale à la fonction vectorielle de Leibniz associée au système et où O est un point arbitrairement fixé.

Si la somme des coefficients est non nulle, cette fonction se simplifie en

$f(M)=f(G)+\left(\sum _{i=1}^{n}a_{i}\right)MG^{2}$

où G est le barycentre du système $\left\{\left(A_{i},a_{i}\right)_{i=1\cdots n}\right\}$

Cette réduction permet de résoudre plus simplement des problèmes de lieux de points (voir théorème de Leibniz)

Exemple : en dimension deux, l'ensemble des points M tels que f(M) = k est

• dans le cas où la somme des coefficients est nulle
  • une droite orthogonale à ${\vec {u}}$ si ${\vec {u}}$ est non nul
  • tout le plan ou l'ensemble vide (selon les valeurs de k) si ${\vec {u}}$ est nul
• dans le cas où la somme des coefficients est non nulle
  • un cercle de centre G, le point G ou l'ensemble vide (selon les valeurs de k)

Voir aussi

• Théorème de Leibniz
• Barycentre (géométrie affine)