Somme vectorielle

La somme vectorielle est une loi interne intervenant dans la définition d'un espace vectoriel. Deux vecteurs u et v d'un même espace vectoriel E peuvent être additionnés et la somme vaut u+v. Cette loi est interne, car le résultat u+v de la somme est un autre vecteur tout comme le sont u et v.

L'image d'un couple de vecteurs (u,v), noté en général u+v, est la somme des deux vecteurs u et v. Un espace vectoriel est ainsi muni d'une loi, notée +, qui est une loi de composition interne :

+:{\begin{array}{lcl}E\times E&\rightarrow &E\\(u,v)&\mapsto &u+v.\end{array}}

Comme cas particulier, E peut être pris égal à $\mathbb {K}$ lui-même, et la somme vectorielle revient tout simplement à additionner des scalaires. Quand E est égal à $\mathbb {K} ^{n}$ , alors la somme vectorielle est celle définie composante par composante. Ainsi, si u et v sont deux vecteurs de $\mathbb {K} ^{n}$ , leurs coordonnées peuvent s'écrire en colonne :

u={\begin{pmatrix}u_{1}\\\vdots \\u_{n}\end{pmatrix}},v={\begin{pmatrix}v_{1}\\\vdots \\v_{n}\end{pmatrix}}

et les composantes du vecteur somme s'obtiennent en faisant la somme de chacune des coordonnées de u et de v :

u+v={\begin{pmatrix}u_{1}+v_{1}\\\vdots \\u_{n}+v_{n}\end{pmatrix}}.

Les propriétés de la somme vectorielle sont les suivantes :

(u+v)+w=u+(v+w)
u+v=v+u

La première propriété (associativité) autorise à oublier les parenthèses dans une somme portant sur plusieurs termes. La deuxième (commutativité) permet de définir la somme d'une famille finie $(v_{i})_{i\in I}$ de vecteurs de E, notée $\sum _{i\in I}v_{i}$ .