Inégalité de Markov

En théorie des probabilités, l'inégalité de Markov donne une borne supérieure de la probabilité qu'une variable aléatoire à valeurs positives soit supérieure ou égale à une constante positive. Cette inégalité a été nommée ainsi en l'honneur d'Andrei Markov.

Énoncé

Inégalité de Markov — Soit $\scriptstyle \ Z\$ une variable aléatoire réelle définie sur un espace probabilisé $\scriptstyle \ \left(\Omega ,{\mathcal {A}},\mathbb {P} \right),\$ et supposée presque sûrement positive ou nulle. Alors

\forall a>0,\qquad \mathbb {P} (Z\geqslant a)\leqslant {\frac {\mathbb {E} [Z]}{a}}.

Démonstration

On a l'inégalité

\forall \omega \in \Omega ,\qquad Z(\omega )\geqslant a\ 1_{\{Z(\omega )\geqslant a\}},

dès que $\scriptstyle \ a\geqslant 0.\$ On en déduit que

\mathbb {E} [Z]\ \geqslant \ \mathbb {E} [a\ 1_{\{Z\geqslant a\}}]\ \left({\scriptstyle \ =\ a\ \mathbb {P} (Z\geqslant a)}\ \right).

Corollaire

Elle possède un corollaire fréquemment utilisé:

Corollaire — Soit $\scriptstyle \ \phi \$ une fonction croissante et positive ou nulle sur l'intervalle $\scriptstyle \ I.\$ Soit $\scriptstyle \ Y\$ une variable aléatoire réelle définie sur un espace probabilisé $\scriptstyle \ \left(\Omega ,{\mathcal {A}},\mathbb {P} \right),\$ et telle que $\scriptstyle \ \mathbb {P} (Y\in I)=1.\$ Alors

\forall b\in I,{\text{ tel que }}\phi (b)>0,\qquad \mathbb {P} (Y\geqslant b)\leqslant {\frac {\mathbb {E} [\phi (Y)]}{\phi (b)}}.

Démonstration

On applique l'inégalité de Markov à $\scriptstyle \ Z=\phi (Y)\$ et à $\scriptstyle \ a=\phi (b),\$ pour obtenir que

\forall b>0,\qquad \mathbb {P} \left(\phi (Y)\geqslant \phi (b)\right)\leqslant {\frac {\mathbb {E} [\phi (Y)]}{\phi (b)}}.

La croissance de $\scriptstyle \ \phi \$ entraîne que tout événement $\scriptstyle \ \omega \$ vérifiant :

Y(\omega )\geqslant b

vérifie aussi l'inégalité :

\phi (Y(\omega ))\geqslant \phi (b).

Ce qui entraîne l'inclusion : $\scriptstyle \ \{Y\geqslant b\}\ \subseteq \ \{\phi (Y)\geqslant \phi (b)\}\$ et donc que : $\scriptstyle \ \mathbb {P} (Y\geqslant b)\ \leqslant \ \mathbb {P} (\phi (Y)\geqslant \phi (b)).\$

Applications

Le choix, dans l'inégalité ci-dessus, de $\scriptstyle \ Y=|X-\mathbb {E} [X]|,\$ $\scriptstyle \ I=[0,+\infty [\$ et $\scriptstyle \ \phi (x)=x^{2}\$ donne l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev.

Le choix, dans l'inégalité ci-dessus, de $\scriptstyle \ Y=X-\mathbb {E} [X],\$ ou bien $\scriptstyle \ Y=\mathbb {E} [X]-X,\$ de $\scriptstyle \ I=\mathbb {R} ,\$ et de $\scriptstyle \ \phi (x)=e^{\lambda x},\lambda >0,\$ est le premier pas de la démonstration de l'inégalité de Chernoff ou de l'inégalité de Hoeffding.