« Inégalité de Hilbert » : différence entre les versions
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Un premier énoncé concerne des suites de nombres réels positifs. Il est le suivant<ref name="DSM-II">{{harvsp|Mitrinović|1970|p=357}}.</ref> : |
Un premier énoncé concerne des suites de nombres réels positifs. Il est le suivant<ref name="DSM-II">{{harvsp|Mitrinović|1970|p=357}}.</ref> : |
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{{Théorème|Inégalité de Hilbert (1)|Soient <math>a_0, \dots, a_n</math> des nombres réels positifs ; alors |
{{Théorème|Inégalité de Hilbert (1)|Soient <math>a_0, \dots, a_n</math> des nombres réels positifs ; alors |
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:: <math>\sum_{i=0}^n { \sum_{j=0}^n {\frac{a_i a_j} {i+j+1}} } \leq \pi \cdot \sum_{i=0}^n {{a_i}^2}. </math> }} |
:: <math>\sum_{i=0}^n { \sum_{j=0}^n {\frac{a_i a_j} {i+j+1}} } \leq \pi \cdot \sum_{i=0}^n {{a_i}^2}. </math> }} |
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De fait, Hilbert a prouvé cette formule avec un facteur <math>2\pi</math> ; le facteur <math>\pi</math> est dû à son élève [[Issai Schur]]. Le facteur <math>\pi</math> a été lui-même remplacé par <math>(n+1)\sin(\pi/(n+1)</math> |
De fait, Hilbert a prouvé cette formule avec un facteur <math>2\pi</math> ; le facteur <math>\pi</math> est dû à son élève [[Issai Schur]]. Le facteur <math>\pi</math> a été lui-même remplacé par <math>(n+1)\sin(\pi/(n+1)</math> dans un article de H. Frazer<ref>{{harvsp|Frazer|1946|p=}}.</ref> de 1946. |
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[[David Widder|D. V. Widder]] a donné la précision supplémentaire<ref name="DSM-II" /> : |
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<math>\sum_{i=0}^n { \sum_{j=0}^n {\frac{a_i a_j} {i+j+1}} } \leq \pi \cdot \sum_{i=0}^n { \sum_{j=0}^n { \frac{(i+j)!} {i! j!} \frac{a_i a_j} {2^{i+j+1}} } } </math> . |
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=== Suite double === |
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Une deuxième série d'énoncés concerne des suites doubles ; voici la formulation donnée dans l'[[Encyclopædia of Mathematics]]<ref>[http://encyclopediaofmath.org/index.php?title=Hilbert_inequality&oldid=47229 Hilbert inequality. ''Encyclopedia of Mathematics''.] </ref> : |
Une deuxième série d'énoncés concerne des suites doubles ; voici la formulation donnée dans l'[[Encyclopædia of Mathematics]]<ref>[http://encyclopediaofmath.org/index.php?title=Hilbert_inequality&oldid=47229 Hilbert inequality. ''Encyclopedia of Mathematics''.] </ref> : |
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a _ {n} , b _ {m} \geq 0,</math>.}} |
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=== Suite double de nombres complexes === |
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Une deuxième série d'énoncés concerne des doubles suites de nombres complexes : |
Une deuxième série d'énoncés concerne des doubles suites de nombres complexes : |
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{{Théorème|Inégalité de Hilbert (3)|Soient <math>a_0, \dots, a_n, b_0, \dots b_n</math> des nombres complexes |
{{Théorème|Inégalité de Hilbert (3)|Soient <math>a_0, \dots, a_n, b_0, \dots b_n</math> des nombres complexes. On a : |
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:<math>\Bigg|\sum_{k,j=0}^n \frac{a_k \overline{b_j}}{1+j+k} \Bigg| \leq \pi \sqrt{\sum_{p=0}^n |a_p|^2} \sqrt{\sum_{p=0}^n |b_p|^2}.</math>}} |
:<math>\Bigg|\sum_{k,j=0}^n \frac{a_k \overline{b_j}}{1+j+k} \Bigg| \leq \pi \sqrt{\sum_{p=0}^n |a_p|^2} \sqrt{\sum_{p=0}^n |b_p|^2}.</math>}} |
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Version du 17 mai 2024 à 07:41
L'inégalité de Hilbert est une inégalité classique en analyse, Elle remonte à un article du mathématicien allemand David Hilbert de 1888 et donne une majoration de certaines sommes doubles de nombres réels positifs. L'inégalité de Hilbert a été raffinée, généralisée et modifiée par de nombreux auteurs. Enfin, Hermann Weyl - par exemple dans sa thèse de habilitation Equations intégrales singulières avec une attention particulière au théorème intégral de Fourier de 1908 - et en particulier Godfrey Harold Hardy ont effectué des recherches approfondies.
Énoncés
Une suite de nombres réels
Un premier énoncé concerne des suites de nombres réels positifs. Il est le suivant[1] :
Inégalité de Hilbert (1) — Soient des nombres réels positifs ; alors
De fait, Hilbert a prouvé cette formule avec un facteur ; le facteur est dû à son élève Issai Schur. Le facteur a été lui-même remplacé par dans un article de H. Frazer[2] de 1946. D. V. Widder a donné la précision supplémentaire[1] :
.
Suite double
Une deuxième série d'énoncés concerne des suites doubles ; voici la formulation donnée dans l'Encyclopædia of Mathematics[3] :
Inégalité de Hilbert (2) — On a :
avec .
Suite double de nombres complexes
Une deuxième série d'énoncés concerne des doubles suites de nombres complexes :
Inégalité de Hilbert (3) — Soient des nombres complexes. On a :
Bibliographie
- Dragoslav S. Mitrinović, Analytic inequalities : In cooperation with Petar Vasić, Springer, coll. « Die Grundlehren der mathematischen Wissenschaften in Einzeldarstellungen mit besonderer Berücksichtigung der Anwendungsgebiete » (no 165), , vi + 400 (ISBN 3-540-62903-3, MR 0018226, zbMATH 0199.38101, lire en ligne)
- H. Frazer, « Note on Hilbert’s inequality », The Journal of the London Mathematical Society, vol. 21, , p. 7–9
- Godfrey Harold Hardy, « Note on a theorem of Hilbert », Mathematische Zeitschrift, vol. 6,
- G. H. Hardy, « Note on a theorem of Hilbert concerning series of positive terms », Proceedings of the London Mathematical Society (2), vol. 23,
- G. H. Hardy, J. E. Littlewood et G. Pólya, Inequalities : Reprint (of the 2. edition 1952), Cambridge, Cambridge University Press,
- David Hilbert, « Ueber die Darstellung definiter Formen als Summe von Formenquadraten », Mathematische Annalen, vol. 32, , p. 342–350 (MR 1510517, lire en ligne)
- Fu Cheng Hsiang, « An inequality for finite sequences », Mathematica Scandinavica, vol. 5, , p. 12–14
- Edmund Landau, « A note on a theorem concerning series of positive terms », Journal of the London Mathematical Society, vol. 1, , p. 38–39
- Waadallah Tawfeeq Sulaiman, « Hardy-Hilbert's integral inequalities via homogeneous functions and some other generalizations », Acta et Commentationes Universitatis Tartuensis de Mathematica, vol. 11, , p. 23–32 (MR 2391968)
- David Vernon Widder, « An Inequality Related to One of Hilbert’s », Journal of the London Mathematical Society, vol. 4, , p. 194–198 (MR 1575045, lire en ligne)
- Bicheng Yang et Qiang Chen, « A new extension of Hardy-Hilbert's inequality in the whole plane », Journal of Function Spaces, , article no 9197476 8 pages (MR 3548430)