Inégalité de Hilbert

L'inégalité de Hilbert est une inégalité classique en analyse, Elle remonte à un article du mathématicien allemand David Hilbert de 1888 et donne une majoration de certaines sommes doubles de nombres réels positifs. L'inégalité de Hilbert a été raffinée, généralisée et modifiée par de nombreux auteurs. Enfin, Hermann Weyl - par exemple dans sa thèse de habilitation Equations intégrales singulières avec une attention particulière au théorème intégral de Fourier de 1908 - et en particulier Godfrey Harold Hardy ont effectué des recherches approfondies.

Énoncés

Un premier énoncé concerne des suites de nombres réels positifs. Il est le suivant :

Inégalité de Hilbert (1) — Soient $a_{0},\dots ,a_{n}$ des nombres réels positifs ; alors

$\sum _{i=0}^{n}{\sum _{j=0}^{n}{\frac {a_{i}a_{j}}{i+j+1}}}\leq \pi \cdot \sum _{i=0}^{n}{{a_{i}}^{2}}.$

De fait, Hilbert a prouvé cette formule avec un facteur $2\pi$ ; le facteur $\pi$ est dû à son élève Issai Schur. Le facteur $\pi$ a été lui-même remplacé par $(n+1)\sin(\pi /(n+1)$ d'après l'article de H. Frazer.

Une deuxième série d'énoncés concerne des suites doubles ; voici la formulation donnée dans l'Encyclopædia of Mathematics :

Inégalité de Hilbert (2) — On a :

$\sum _{m=1}^{\infty }\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {a_{n}b_{m}}{n+m}}<\ {\frac {\pi }{\sin(\pi /p)}}\left(\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}^{p}\right)^{1/p}\left(\sum _{m=1}^{\infty }b_{m}^{q}\right)^{1/q},$

avec $p>1,\ \ q={\frac {p}{p-1}},\ \ {\frac {1}{p}}+{\frac {1}{q}}=1,\ \ a_{n},b_{m}\geq 0,$.

Une deuxième série d'énoncés concerne des doubles suites de nombres complexes :

Inégalité de Hilbert (3) — Soient $a_{0},\dots ,a_{n},b_{0},\dots b_{n}$ des nombres complexes ; alors :

$\sum _{k,j=0}^{n}{\frac {a_{k}{\overline {b_{j}}}}{1+j+k}}{\Bigg |}\leq \pi {\sqrt {\sum _{p=0}^{n}|a_{p}|^{2}}}{\sqrt {\sum _{p=0}^{n}|b_{p}|^{2}}}.$

Bibliographie

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• Godfrey Harold Hardy, « Note on a theorem of Hilbert », Mathematische Zeitschrift, vol. 6,‎ 1920
• G. H. Hardy, « Note on a theorem of Hilbert concerning series of positive terms », Proceedings of the London Mathematical Society (2), vol. 23,‎ 1925
• G. H. Hardy, J. E. Littlewood et G. Pólya, Inequalities : Reprint (of the 2. edition 1952), Cambridge, Cambridge University Press, 1973
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• Fu Cheng Hsiang, « An inequality for finite sequences », Mathematica Scandinavica, vol. 5,‎ 1957, p. 12–14
• Edmund Landau, « A note on a theorem concerning series of positive terms », Journal of the London Mathematical Society, vol. 1,‎ 1926, p. 38–39

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• David Vernon Widder, « An Inequality Related to One of Hilbert’s », Journal of the London Mathematical Society, vol. 4,‎ 1929, p. 194–198 (MR 1575045, lire en ligne)
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