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== Formulation et explication == |
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On peut voir la conjecture comme suit: On choisit un point <math>(\alpha, \beta)</math> dans le plan, puis on considère la suite de points |
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: <math>(2 \alpha, 2 \beta ), (3 \alpha, 3 \beta ), . . . .</math> |
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Pour chacun d'entre eux, on multiplie la distance à la droite la plus proche avec la coordonnée entière <math>x</math> par la distance à la droite la plus proche avec la coordonnée entière <math>y</math>. Ce produit sera certainement au plus égal à 1/4. La conjecture ne dit pas que cette suite de valeurs [[Série convergente|converge]] ; ce n'est généralement pas le cas, en fait. La conjecture concerne la [[Limite supérieure et limite inférieure|limite inférieure]] et dit qu'il existe une sous-séquence pour laquelle les distances décroissent plus vite que l'inverse, c'est-à-dire en <math>o(1/n)</math> avec la [[Comparaison asymptotique#La famille de notations de Landau O, o, Ω, ω, Θ, ~|notation de Landau]]. |
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En d'autres termes, la conjecture dit que pour tout <math>\alpha</math> et <math>\beta</math> il y a une infinité d'entiers <math>n</math>, tel que l'égalité soit réalisée. |
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== Connexion à d'autres conjectures == |
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Il et connu que la conjecture est une conséquence d'un résultat en [[géométrie des nombres]], concernant le minimum, pour un point d'un [[Réseau (géométrie)|réseau]] non nul dun produit de trois [[Forme linéaire|formes linéaires]] en trois variables réelles : l'implication a été montrée en 1955 par [[John Cassels]] et [[Peter Swinnerton-Dyer]]<ref>{{Article|auteur1=John William Scott Cassels|auteur2=Henry Peter Francis Swinnerton-Dyer|titre=On the product of three homogeneous linear forms and the indefinite ternary quadratic forms|périodique=[[Philosophical Transactions of the Royal Society A: Mathematical, Physical and Engineering Sciences|Philosophical Transactions of the Royal Society A]]|volume=248|numéro=940|date=1955-06-23|doi=10.1098/rsta.1955.0010|jstor=91633|bibcode=1955RSPTA.248...73C|math reviews=70653|zbl=0065.27905|pages=73–96|s2cid=122708867}}</ref>. Elle peut être formulée d'une autre manière, en termes de [[théorie des groupes]]. Il existe une autre conjecture, pour <math>n\ge3</math> : elle s'exprime en termes de <math>G=SL_n(\R)</math>, <math>\Gamma=SL_n(\Z)</math>Γ = ''SL<sub>n</sub>''(''Z'') et du sous-groupe <math>D</math> des [[Matrice diagonale|matrices diagonales]] dans <math>G</math>. |
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'''Conjecture'''.— Pour tout <math>g\in G/\Gamma</math> tel que <math>Dg</math> est [[Partie relativement compacte|relativement compact]] dans <math>G/\Gamma</math>), l'ensemble <math>Dg</math> est fermé. |
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Cette conjecture est à son tour est un cas particulier d'une conjecture générale de [[Gregori Margulis|Margulis]] concernant les [[Groupe de Lie|groupes de Lie]]. |
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== Résultats partiels == |
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Borel a montré en 1909 que l'ensemble exceptionnel des couples réels <math>(\alpha,\beta)</math> ne respectant l'énoncé de la conjecture est de mesure de [[Mesure de Lebesgue|Lebesgue]] nulle{{sfn|Adamczewski|Bugeaud|2010|p=444}}. [[Manfred Einsiedler]], [[Anatole Katok]] et [[Elon Lindenstrauss]] ont montré <ref>{{Article|auteur1=Manfred Einsiedler|auteur2=Anatole Katok|auteur3=Elon Lindenstrauss|titre=Invariant measures and the set of exceptions to Littlewood's conjecture|périodique=[[Annals of Mathematics]]|volume=164|numéro=2|date=2006-09-01|doi=10.4007/annals.2006.164.513|math reviews=2247967|zbl=1109.22004|arxiv=math.DS/0612721|pages=513–560}}</ref>{{,}}{{sfn|Venkatesh|2007}} qu'il doit avoir une [[dimension de Hausdorff]] nulle{{sfn|Adamczewski|Bugeaud|2010|p=445}}; et est en fait une union dénombrable d'[[Compacité (mathématiques)|ensembles compacts]] de [[dimension de Minkowski-Bouligand]] nulle. Ce résultat a été prouvé en utilisant un théorème de classification des mesures pour les actions diagonalisables des groupes de rang supérieur, et un ''théorème d'isolement'' prouvé par Lindenstrauss et [[Barak Weiss]]. |
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Ces résultats impliquent que des paires non triviales vérifiant la conjecture existent : en effet, étant donné un nombre réel <math>\alpha</math> tel que <math>\inf_{n \ge 1} n \cdot || n \alpha || > 0 </math>, il est possible de construire un <math>\beta</math> explicite tel que <math>(\alpha,\beta)</math> vérifie la conjecture{{sfn|Adamczewski|Bugeaud|2010|p=446}}. |
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