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Pour chacun d'entre eux, on multiplie la distance à la droite la plus proche avec la coordonnée entière <math>x</math> par la distance à la droite la plus proche avec la coordonnée entière <math>y</math>. Ce produit sera certainement au plus égal à 1/4. La conjecture ne dit pas que cette suite de valeurs [[Série convergente|converge]] ; ce n'est généralement pas le cas, en fait. La conjecture concerne la [[Limite supérieure et limite inférieure|limite inférieure]] et dit qu'il existe une sous-séquence pour laquelle les distances décroissent plus vite que l'inverse, c'est-à-dire en <math>o(1/n)</math> avec la [[Comparaison asymptotique#La famille de notations de Landau O, o, Ω, ω, Θ, ~|notation de Landau]]. |
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En d'autres termes, la conjecture dit que pour tout <math>\alpha</math> et <math>\beta</math> il y a une infinité d'entiers <math>n</math>, tel que l'égalité soit réalisée. |
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On sait que la conjecture est une conséquence d'un résultat en [[géométrie des nombres]], concernant le minimum, pour un point d'un [[Réseau (géométrie)|réseau]] non nul dun produit de trois [[Forme linéaire|formes linéaires]] en trois variables réelles : l'implication a été montrée en 1955 par [[John Cassels]] et [[Peter Swinnerton-Dyer]]<ref>{{Article|auteur1=John William Scott Cassels|auteur2=Henry Peter Francis Swinnerton-Dyer|titre=On the product of three homogeneous linear forms and the indefinite ternary quadratic forms|périodique=[[Philosophical Transactions of the Royal Society A: Mathematical, Physical and Engineering Sciences|Philosophical Transactions of the Royal Society A]]|volume=248|numéro=940|date=1955-06-23|doi=10.1098/rsta.1955.0010|jstor=91633|bibcode=1955RSPTA.248...73C|math reviews=70653|zbl=0065.27905|pages=73–96|s2cid=122708867}}</ref>. Elle peut être formulée d'une autre manière, en termes de [[théorie des groupes]]. Il existe une autre conjecture, pour <math>n\ge3</math> : elle s'exprime en termes de <math>G=SL_n(\R)</math>, <math>\Gamma=SL_n(\Z)</math>Γ = ''SL<sub>n</sub>''(''Z'') et du sous-groupe <math>D</math> des [[Matrice diagonale|matrices diagonales]] dans <math>G</math>. |
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{{théorème|titre=Conjecture|1=pour tout ''g'' dans ''G''/Γ tel que ''Dg'' soit [[Partie relativement compacte|relativement compact]] (dans ''G''/Γ), alors ''Dg'' est fermé.}} |
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Ceci à son tour est un cas particulier d'une conjecture générale de [[Gregori Margulis|Margulis]] sur les [[Groupe de Lie|groupes de Lie]]. |
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Version du 25 avril 2024 à 08:01
Formulation et explication
On peut voir la conjecture comme suit: On choisit un point dans le plan, puis on considère la suite de points
Pour chacun d'entre eux, on multiplie la distance à la droite la plus proche avec la coordonnée entière par la distance à la droite la plus proche avec la coordonnée entière . Ce produit sera certainement au plus égal à 1/4. La conjecture ne dit pas que cette suite de valeurs converge ; ce n'est généralement pas le cas, en fait. La conjecture concerne la limite inférieure et dit qu'il existe une sous-séquence pour laquelle les distances décroissent plus vite que l'inverse, c'est-à-dire en avec la notation de Landau.
En d'autres termes, la conjecture dit que pour tout et il y a une infinité d'entiers , tel que l'égalité soit réalisée.
Connexion à d'autres conjectures
On sait que la conjecture est une conséquence d'un résultat en géométrie des nombres, concernant le minimum, pour un point d'un réseau non nul dun produit de trois formes linéaires en trois variables réelles : l'implication a été montrée en 1955 par John Cassels et Peter Swinnerton-Dyer[1]. Elle peut être formulée d'une autre manière, en termes de théorie des groupes. Il existe une autre conjecture, pour : elle s'exprime en termes de , Γ = SLn(Z) et du sous-groupe des matrices diagonales dans .
Théorème — pour tout g dans G/Γ tel que Dg soit relativement compact (dans G/Γ), alors Dg est fermé.
Ceci à son tour est un cas particulier d'une conjecture générale de Margulis sur les groupes de Lie.
- John William Scott Cassels et Henry Peter Francis Swinnerton-Dyer, « On the product of three homogeneous linear forms and the indefinite ternary quadratic forms », Philosophical Transactions of the Royal Society A, vol. 248, no 940, , p. 73–96 (DOI 10.1098/rsta.1955.0010, JSTOR 91633, Bibcode 1955RSPTA.248...73C, MR 70653, zbMATH 0065.27905, S2CID 122708867)