Conjecture de Littlewood

En mathématiques, la conjecture de Littlewood est un problème ouvert (en octobre 2022) en approximation diophantienne, proposé par John Edensor Littlewood vers 1930. Il affirme que pour deux nombres réels quelconques α et β,

$\liminf _{n\to \infty }\ n\,\Vert n\alpha \Vert \,\Vert n\beta \Vert =0,$

où $\Vert x\Vert :=\min(|x-\lfloor x\rfloor |,|x-\lceil x\rceil |)$ est la distance à l'entier le plus proche.

Formulation et explication

On peut le comprendre ainsi : prendre un point (α, β) dans le plan, puis considérer la séquence de points

(2 α, 2 β ), (3 α, 3 β ), . . . .

Pour chacun d'entre eux, on multiplie la distance à la droite la plus proche avec la coordonnée entière x par la distance à la droite la plus proche avec la coordonnée entière y. Ce produit sera certainement au plus 1/4. La conjecture ne dit pas si cette suite de valeurs convergera ; ce n'est généralement pas le cas, en fait. La conjecture énonce quelque chose à propos de la limite inférieure, et dit qu'il existe une sous-séquence pour laquelle les distances décroissent plus vite que l'inverse, c'est-à-dire en o(1/n) avec la notation de Landau (petit-o).

En d'autres termes, la conjecture dit que pour tout α et β il y a une infinité de tels $n$, tel que l'égalité soit vraie.

Connexion à d'autres conjectures

On sait que cela découlerait d'un résultat en géométrie des nombres, autour du minimum sur un point de réseau non nul d'un produit de trois formes linéaires en trois variables réelles : l'implication a été montrée en 1955 par JWS Cassels et Swinnerton-Dyer. Cela peut être formulé d'une autre manière, en termes de théorie des groupes. Il existe maintenant une autre conjecture, supposée valable pour n ≥ 3 : elle est exprimée en termes de G = SL_n(R), Γ = SL_n(Z) et le sous-groupe D des matrices diagonales dans G.

Théorème — pour tout g dans G/Γ tel que Dg soit relativement compact (dans G/Γ), alors Dg est fermé.

Ceci à son tour est un cas particulier d'une conjecture générale de Margulis sur les groupes de Lie.

Résultats partiels

Borel a montré en 1909 que l'ensemble exceptionnel des couples réels (α,β) ne respectant l'énoncé de la conjecture est de mesure de Lebesgue nulle. Manfred Einsiedler, Anatole Katok et Elon Lindenstrauss ont montré qu'elle doit avoir la dimension de Hausdorff nulle ; et est en fait une union dénombrable d'ensembles compacts de dimension de Minkowski-Bouligand nulle. Le résultat a été prouvé en utilisant un théorème de classification des mesures pour les actions diagonalisables des groupes de rang supérieur, et un théorème d'isolement prouvé par Lindenstrauss et Barak Weiss.

Ces résultats impliquent que des paires non triviales vérifiant la conjecture existent : en effet, étant donné un nombre réel α tel que $\inf _{n\geq 1}n\cdot ||n\alpha ||>0$, il est possible de construire un β explicite tel que (α,β) vérifie la conjecture.

Références

• (en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Littlewood conjecture » (voir la liste des auteurs).

Bibliographie

• Boris Adamczewski et Yann Bugeaud, Combinatorics, automata, and number theory, vol. 135, Cambridge, Cambridge University Press, coll. « Encyclopedia of Mathematics and its Applications », 2010, 410–451 p. (ISBN 978-0-521-51597-9, zbMATH 1271.11073), « 8. Transcendence and diophantine approximation »

• Shunsuke Usuki, « On a lower bound of the number of integers in Littlewood's conjecture », Arxiv,‎ 30 novembre 2022 (DOI 10.48550/arXiv.2207.13462, lire en ligne, consulté le 24 avril 2024)
• Shunsuke Usuki, « An improvement of the lower bound of the number of integers in Littlewood's conjecture », Arxiv,‎ 20 avril 2024 (DOI 10.48550/arXiv.2401.05027, lire en ligne, consulté le 24 avril 2024)
• Akshay Venkatesh, « The work of Einsiedler, Katok, and Lindenstrauss on the Littlewood conjecture », Bull. Amer. Math. Soc. (N.S.), vol. 45, n^o 1,‎ 29 octobre 2007, p. 117–134 (DOI 10.1090/S0273-0979-07-01194-9, MR 2358379, zbMATH 1194.11075)

Articles connexes

• Polynôme de Littlewood