« Fonction zêta de Hurwitz » : différence entre les versions
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=== Relation avec les fonctions L de Dirichlet === |
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En fixant un entier {{math|''Q'' ≥ 1}}, les [[Fonction L de Dirichlet|fonctions L de Dirichlet]] pour les caractères modulo {{mvar|Q}} sont des [[Combinaison linéaire|combinaisons linéaires]] de {{math|ζ(''s'',''q'')}} où {{math|1=''q'' = ''k''/''Q''}} et {{math|1=''k'' = 1, 2, ..., ''Q''}}. |
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Plus précisément, soit {{mvar|χ}} un [[caractère de Dirichlet]] {{math|mod ''Q''}}. La fonction L de Dirichlet associée s'écrit : |
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Version du 27 décembre 2021 à 17:35
En mathématiques, la fonction zêta de Hurwitz est une des nombreuses fonctions zêta.
Elle est définie, pour toute valeur q du paramètre, nombre complexe de partie réelle strictement positive, par la série suivante, convergeant vers une fonction holomorphe sur le demi-plan des complexes s tels que Re(s) > 1 :
- .
Par prolongement analytique, s'étend en une fonction méromorphe sur le plan complexe, d'unique pôle s = 1.
est la fonction zêta de Riemann.
Représentation intégrale
- ,
où Γ désigne la fonction Gamma[1].
Prolongement analytique
La fonction s'étend en une fonction méromorphe, d'unique pôle s = 1, simple, avec un résidu égal à 1[2].
Développement de Laurent
Son développement de Laurent en ce pôle est
où les coefficients
sont les « constantes de Stieltjes généralisées » (les constantes de Stieltjes usuelles correspondent à la fonction zêta de Riemann).
La généralisation correspondante de la formule de Jensen-Franel est la formule de Hermite[4] :
- .
La constante d'indice 0 est l'opposée de la fonction digamma[4] :
- .
Formule de Hurwitz
La formule de Hurwitz[3],[5] est le théorème suivant, valide pour 0 < q < 1 et Re(s) > 0, ainsi que pour q = 1 et Re(s) > 1 :
où
- ,
Lis étant la fonction polylogarithme.
Équation fonctionnelle
L'équation fonctionnelle relie les valeurs de la fonction zêta sur le côté gauche — et droit — du plan complexe. Pour les nombres entiers
reste valable pour toutes les valeurs de s.
Développement en série de Taylor
La dérivée partielle de la fonction zêta est une suite de Sheffer :
- .
Ainsi, la série de Taylor peut être écrite comme suit :
- .
Transformation de Fourier
La transformée de Fourier discrète de la fonction zêta de Hurwitz par rapport à l'ordre s est la fonction chi de Legendre.
Lien avec d'autres fonctions spéciales
Relation avec les polynômes de Bernoulli
Puisque, avec la notion F introduite ci-dessus, la série de Fourier des polynômes de Bernoulli est (pour et ) :
- ,
la formule de Hurwitz donne (pour 0 < x < 1 et ) :
- [6].
Relation avec les fonctions L de Dirichlet
En fixant un entier Q ≥ 1, les fonctions L de Dirichlet pour les caractères modulo Q sont des combinaisons linéaires de ζ(s,q) où q = k/Q et k = 1, 2, ..., Q.
Plus précisément, soit χ un caractère de Dirichlet mod Q. La fonction L de Dirichlet associée s'écrit :
- .
Par inversion de Plancherel, on en déduit, pour toute fraction irréductible :
- ,
la somme portant sur tous les caractères de Dirichlet mod Q.
Relation avec la fonction polygamma
La fonction zêta de Hurwitz généralise la fonction polygamma :
- .
Relation avec la fonction transcendante de Lerch
La fonction transcendante de Lerch généralise la fonction zêta de Hurwitz :
et ainsi
- .
Relation avec la fonction thêta de Jacobi
Si est la fonction thêta de Jacobi, alors
reste valable pour Re s > 0 et z complexe non entier.
Pour z = n un entier, ceci se simplifie en
où ζ est la fonction zêta de Riemann. Cette distinction selon l'intégralité de z rend compte du fait que la fonction thêta de Jacobi converge vers la fonction δ de Dirac pour z lorsque t → 0.
Applications
La fonction zêta de Hurwitz apparaît principalement en théorie des nombres, mais aussi dans les statistiques appliquées ; voir la loi de Zipf et la loi de Zipf-Mandelbrot (en).
Références
- Voir par exemple .
- Voir par exemple Apostol 1976, p. 255, ou .
- (en) Bruce C. Berndt, « On the Hurwitz zeta-function », Rocky Mountain J. Math., vol. 2, no 1, , p. 151-158 (lire en ligne).
- (en) Iaroslav V. Blagouchine, « A theorem for the closed-form evaluation of the first generalized Stieltjes constant at rational arguments and some related summations », J. Number Theory, vol. 148, , p. 537-592 (arXiv 1401.3724) .
- Apostol 1976, p. 257-259.
- Voir par exemple Apostol 1976, p. 264, ou .
Voir aussi
Article connexe
Opérateur de Gauss-Kuzmin-Wirsing
Bibliographie
- (en) Tom M. Apostol, Introduction to Analytic Number Theory, Springer, (lire en ligne), chap. 12
- (en) Milton Abramowitz et Irene Stegun, Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables [détail de l’édition] (lire en ligne), § 6.4.10
- (en) Djurdje Cvijovic et Jacek Klinowski, « Values of the Legendre chi and Hurwitz zeta functions at rational arguments », Math. Comp., vol. 68, , p. 1623-1630 (lire en ligne)
Lien externe
(en) Eric W. Weisstein, « Hurwitz Zeta Function », sur MathWorld