Rayon (géométrie)

Rayon d'un cercle

Pour calculer le rayon R d'un cercle passant par trois points A, B, C, la formule suivante peut être utilisée (voir Théorème de l'angle inscrit, Angle inscrit dans un demi-cercle et figure ci-contre) :

$R={\frac {a}{2\sin \alpha }}$, où a est la longueur du côté [B, C] et α est l'angle ⦟BAC.

Si les trois points sont donnés par leurs coordonnées $(x_{1},y_{1})$, $(x_{2},y_{2})$ et $(x_{3},y_{3})$, on peut aussi utiliser la formule suivante (voir Loi des sinus et Aire d'un triangle) :

$R={\frac {\sqrt {\left(\left(x_{2}-x_{1}\right)^{2}+\left(y_{2}-y_{1}\right)^{2}\right)\left(\left(x_{2}-x_{3}\right)^{2}+\left(y_{2}-y_{3}\right)^{2}\right)\left(\left(x_{3}-x_{1}\right)^{2}+\left(y_{3}-y_{1}\right)^{2}\right)}}{2\left|x_{1}y_{2}+x_{2}y_{3}+x_{3}y_{1}-x_{1}y_{3}-x_{2}y_{1}-x_{3}y_{2}\right|}}$.

Rayon d'une ellipse

Le rayon moyen r d'une ellipse est le rayon d'un cercle d'aire (surface) égale à celle de cette ellipse.

Il est égal à la racine carrée du produit des deux demi-axes de l'ellipse :

$r={\sqrt {ab}}=a{\sqrt[{4}]{1-e^{2}}}$.

Un cercle de centre $O$, le centre d'une ellipse, et de rayon $a$, le demi-grand axe de cette ellipse, est appelé cercle principal.

Un cercle de centre $O$, le centre d'une ellipse, et de rayon $b$, le demi-petit axe de cette ellipse, est appelé cercle secondaire.

Rayon d'un ellipsoïde

La notion de rayon a été étendue aux ellipsoïdes, pour lesquels on distingue le rayon moyen, le rayon authalique et le rayon volumétrique.

Rayon moyen

Le rayon moyen, noté $R_{1}$, est égal au tiers de la somme du grand-axe et du demi-petit axe de l'ellipsoïde :

$R_{1}={\frac {2a+b}{3}}$.

Rayon authalique

Le rayon authalique est le rayon d'une sphère fictive d'aire (surface) égale à celle de l'ellipsoïde considéré.

Couramment noté $R_{2}$, il est égal à la racine carrée du quart du rapport de l'aire de l'ellipsoïde par pi :

$R_{2}={\sqrt {\frac {a^{2}+{\frac {ab^{2}}{\sqrt {a^{2}-b^{2}}}}\ln {\left({\frac {a+{\sqrt {a^{2}-b^{2}}}}{b}}\right)}}{2}}}={\sqrt {{\frac {a^{2}}{2}}+{\frac {b^{2}}{2}}{\frac {\tanh ^{-1}e}{e}}}}$,

d'où :

$R_{2}={\sqrt {\frac {A}{4\pi }}}$.

Rayon volumétrique

Le rayon volumétrique est le rayon d'une sphère fictive de volume égal à celui de l'ellipsoïde considéré.

Couramment noté $R_{3}$, il est égal à la racine cubique du produit du carré du demi-grand axe de l'ellipsoïde par le demi-petit axe de celui-ci :

$R_{3}={\sqrt[{3}]{a^{2}b}}$.

Rayon d'un polygone

Un rayon d'un polygone régulier est un segment reliant le centre de ce polygone à l'un de ses sommets. Sa longueur est par conséquent le rayon du cercle circonscrit à ce polygone.

Le rayon d'un polygone de côté c et à n côtés est donc égal à

${\sqrt {\frac {c^{2}}{2-2\cos(2\pi /n)}}}={\frac {c}{2\sin(\pi /n)}}$

ou encore, en fonction de la longueur de l'apothème h, à

${\frac {h}{\cos(\pi /n)}}$.

Rayons de la Terre

Données

Rayon	Valeur en kilomètres	Commentaire
maximal	6 384,4	au sommet du Chimborazo
minimal	6 352, 8
équatorial	6 378,8	demi-grand axe de l'ellipsoïde de référence
polaire	6 356,8	demi-petit axe de l'ellipsoïde de référence
moyen	6 371,009
authalique	6 371,007 2
volumétrique	6 371,000 8

Historique

La première mesure du rayon de la Terre en astronomie a été conçue par Ératosthène. Son calcul est le suivant : le Soleil est si éloigné que ses rayons arrivent parallèlement en tout point de la Terre. Il a lu qu'à Syène, les rayons tombent verticalement dans un puits le jour du solstice d'été. Cela veut dire que le Soleil passe par le zénith, il n'y a alors pas d'ombre. Plus au nord, au même instant, les rayons atteignent Alexandrie sous un angle non nul, qu'il mesure. L'angle mesuré est de un cinquantième de cercle. Cela signifie que la circonférence de la Terre est cinquante fois plus grande que la distance Syène-Alexandrie. Il avait lu également que les caravanes de chameaux partant de Syène mettaient cinquante jours pour arriver à Alexandrie en parcourant cent stades par jour. Il calcula que la distance entre les deux villes de la vallée du Nil était de 5 000 stades. Le stade équivaut à 158 m.

Par la mesure de l'ombre portée par ces objets de hauteur connue situés en deux points de latitude différente, il trouve la valeur de 250 000 stades pour la longueur du méridien, c'est-à-dire la circonférence terrestre. Cette mesure est exacte à 2 % près. Il en déduisit le rayon terrestre.

Utilisation

Le rayon terrestre est utilisé pour de nombreux calculs astronomiques comme le calcul de la parallaxe diurne d'un astre :

Parallaxe diurne : deux observateurs se placent en deux points A et B de la Terre les plus éloignés possible et notent la configuration des étoiles entourant l'astre observé. Ils peuvent ainsi calculer les angles ${\widehat {ABP}}$ et ${\widehat {BAP}}$, puis en déduire la parallaxe qui permettra d'obtenir la distance TP.

Voir aussi

Article connexe

• Éléments d'Euclide

Bibliographie

• Michel Morin et Alain Roy, Géométrie 4 : les relations dans le cercle, Mont-Royal (Québec), Modulo, 1995 (OCLC 32548158)