Mécanique du contact

Dans le domaine du génie mécanique, la mécanique du contact est un sujet relativement ardu.

Elle concerne la modélisation, sous forme d'équations et d'inéquations, du comportement de structures mécaniques, vouées à se rencontrer, et le développement d'algorithmes capables de générer une approximation numérique dont les propriétés sont contrôlées (convergence, stabilité). La difficulté principale provient des conditions dites de non-pénétration qui interdisent aux structures en contact d'occuper, au moins en partie, le même domaine spatial. Ces conditions sont évidemment indispensables mais posent des difficultés théoriques et numériques. Viennent ensuite les conditions de frottement.

Contact unilatéral en statique

Dans cette section, le frottement est ignoré, ainsi que le temps. Seules les conditions de contact unilatéral sont évoquées.

Système à un degré de liberté

Figure 1 : système mécanique à un degré de liberté avec condition de contact unilatéral.

Dans cette section, afin d'établir un cadre (très) simplifié de la mécanique du contact, un seul degré de liberté est supposé, comme indiqué sur la figure 1 : le système idéalisé implique donc le déplacement $u$ de la masse $m$. Cette masse $m$ est initialement, c'est-à-dire quand le système est au repos, séparée d'un mur rigide d'une distance $d$ appelée jeu. Sous l'effet d'un force extérieure $f$, la masse est amenée à se déplacer. La raideur $k$, évidemment quantité strictement positive (on observe immédiatement, sur la figure 2, qu'une raideur négative élimine soit l'unicité de la solution, soit son existence), aura tendance à la retenir. Sous cette hypothèse, plusieurs formulations équivalentes sont disponibles.

Loi de contact unilatéral

La loi de contact unilatéral d'un solide sur un obstacle rigide fut proposée par Signorini et s'écrit

$$u-d\leq 0,\quad \lambda \geq 0,\quad (u-d)\cdot \lambda =0$$

où $\lambda$ est la force de contact. Elle décrit deux configurations:

• contact inactif (ou jeu ouvert): $u\leq d$ et $\lambda =0$;
• contact actif (ou jeu fermé): $u=d$ et $\lambda \geq 0$.

C'est l'aspect combinatoire de ces conditions de Signorini qui rend la mécanique de contact difficile.

Équations de Newton

Figure 2 : solution graphique. L'ensemble noir décrit les conditions de Signorini et l'ensemble rouge, l'équilibre statique. Pour tout $f$, elles se croisent en un seul point, la solution

Les équations qui gouvernent le statut du système combinent l'équation de la statique (principe de Newton) à la loi de Signorini. Elles s’énoncent comme suit:

$${\begin{aligned}&ku+\lambda =f\\&u-d\leq 0,\quad \lambda \geq 0,\quad (u-d)\cdot \lambda =0\end{aligned}}$$

La première équation décrit l'équilibre statique du système, à savoir que la somme des forces extérieures (la force de rappel initiée par la raideur, la force extérieure et la force de contact) agissant sur la masse est nulle. La deuxième ligne résume les conditions de Signorini. Elles expriment le fait que la masse $m$ ne peut pas pénétrer le mur rigide sous l'action des forces extérieures. Autrement dit, si $u\leq d$ alors la force de contact $\lambda$ est nulle, sinon cette dernière est positive (à cause de sa position dans l'équation d'équilibre, il s'agit là d'un choix arbitraire) dès que la masse se trouve sur le mur, c'est-à-dire dès que $u=d$. Ces trois conditions, écrites sous la forme de deux inéquations et d'une égalité, sont dites conditions de complémentarité.

Les équations ci-dessus sont très simples à résoudre. Il y a deux inconnues, à savoir $u$ et $\lambda$, et deux ensembles décrits par les deux lignes précédentes: ces deux ensembles s'intersectent nécessairement en un unique point. Il s'agit en fait d'analyse combinatoire. Une fois des valeurs numériques assignées aux quantités mécaniques en jeu, il suffit de discuter deux situations:

• contact inactif (ou jeu ouvert): $u\leq d$, soit $u=f/k$ et $\lambda =0$;
• contact actif (ou jeu fermé): $u=d$ et $\lambda =f-kd$.

Comme mentionné précédemment, l'aspect combinatoire est tel que toutes les configurations possibles doivent être testées avant de trouver la solution. C'est rapide pour un système à un seul degré de liberté mais beaucoup plus gourmand pour les grands systèmes.

Minimisation de l'énergie potentielle

Les équations précédentes peuvent être réécrites par minimisation d'énergie sous contrainte unilatérale. On fait appel aux outils de l'optimisation. Pour cette configuration hautement simplifiée, il s'agit d'écrire formellement:

$${\begin{aligned}{\text{min}}\,&{\frac {1}{2}}ku^{2}-fu\\{\text{sous contrainte }}&u-d\leq 0\end{aligned}}$$

Le théorème de Karush Kuhn & Tucker permet de retrouver les équations précédentes sans difficulté.

Inéquation variationnelle

Les inéquations variationnelles sont moins connues des ingénieurs en général. La mise en place des équations demandent un ingrédient particulier, à savoir l'espace $\mathbb {K}$ des déplacements admissibles, c'est-à-dire qui ne violent pas la condition de non-pénétration, soit $\mathbb {K} =\{u\,|\,u\leq d\}$. La formulation nécessite un déplacement virtuel admissible (aussi appelé fonction test par les mathématiciens), appartenant à l'ensemble $\mathbb {K}$. Elle s'écrit:

Trouver le déplacement $u\in \mathbb {K}$ tel que $\forall v\in \mathbb {K} ,\quad ku(v-u)\geq f(v-u)$.

Les outils provenant de l'analyse convexe forment la base de cette approche parce que l'ensemble $\mathbb {K}$ est convexe: c'est aussi un sous-ensemble de l'espace des déplacements n'ayant pas à satisfaire les contraintes de contact. Sans entrer dans les détails, on remarque que la force de contact $\lambda$ n'apparaît pas explicitement dans la formulation. C'est un de ses avantages parce qu'aucune hypothèse sur $\lambda$ n'est stipulée. Cet avantage n'est pas évident pour la configuration en cours, mais l'est dans des cadres mathématiques plus avancés.

Démonstration

Considérons un déplacement virtuel $v$ sujet à aucune restriction, pour l'instant. Si $u$ est la solution recherchée, la quantité $v-u$ reste bien quelconque. Multiplier l'équation d'équilibre par $v-u$ implique:

$$\forall v,\quad ku(v-u)+\lambda (v-u)=f(v-u)$$

en gardant à l'esprit que les conditions de Signorini doivent être respectées par la solution. Ceci est équivalent à:

$$\forall v,\quad ku(v-u)+\lambda (v-d-(u-d))=f(v-u)$$

qui devient, en utilisant $\lambda (u-d)=0$,

$$\forall v,\quad ku(v-u)=f(v-u)-\lambda (v-d)$$

Puisque $\lambda \geq 0$, prendre un $v$ satisfaisant $v\leq d$ est équivalent à:

$$\forall v\in \mathbb {K} ,\quad ku(v-u)\geq f(v-u)$$

Pour satisfaire la première condition de Signorini, il suffit de prendre $u\in \mathbb {K}$, d'où la formulation énoncée.

Cette formulation est aussi dite formulation en déplacement ou formulation primale parce que l'effort de contact n'apparaît pas explicitement.

Formulation par projection

Figure 3 : conditions de Signorini vues comme une fonction semi-différentiable $z=f(u,\lambda )$ [orange] intersectant le plan $z=0$ [bleu]. Cet ensemble est la ligne noire, à comparer à la figure 2

Les équations de Newton évoquées précédemment, associant égalités et inégalités, peuvent être réécrites sous forme d'égalités uniquement, grâce à l'opérateur de projection. Dans la configuration présente, cet opérateur de projection, est équivalent à la fonction

$$\max(a,b)=\left\{{\begin{aligned}&a{\text{ si }}a>b\\&b{\text{ autrement}}\end{aligned}}\right.$$

L'écriture de l'équilibre statique reste inchangée mais les trois conditions de Signorini sont transformées de telle sorte que l'ensemble devient (par exemple, puisque la transformation des trois conditions de Signorini en égalité n'est pas unique):

$${\begin{aligned}&ku+\lambda =f\\&\lambda -\max(0,c(u-d)+\lambda )=0\end{aligned}}$$

où $c$ est une constante arbitraire strictement positive. Cette formulation est intéressante dans le sens où il est possible d'utiliser un solveur de Newton pour résoudre le système d'équations. Il faut cependant faire attention puisque la faible régularité de la fonction $\max$ peut poser problème.

Inclusion

Les développements précédents peuvent aussi s'exprimer sous forme d'inclusion. Pour cela, il faut réécrire la fonction multivoque définie par les conditions de Signorini, soit:

$$J_{N}(u)=\left\{{\begin{aligned}&0{\text{ si }}u<d\\&[0,+\infty [{\text{ si }}u=d\\&\emptyset {\text{ sinon}}\end{aligned}}\right.$$

Il s'agit bien de l'ensemble illustré sur les figures 2 et 3. La formulation devient alors:

$${\begin{aligned}&ku+\lambda =f\\&\lambda \in J_{N}(u)\end{aligned}}$$

ou, dit autrement:

$$ku-f\in -J_{N}(u)$$

Bibliographie

• Vincent Acary, Contribution à la modélisation mécanique et numérique des édifices maçonnés, thèse de doctorat
• Pierre Alart (1997), Méthode de Newton généralisée en mécanique du contact. Journal de mathématiques pures et appliquées, vol 76, p. 83-108
• Houari Boumediène Khenous, Problèmes de contact unilatéral avec frottement de Coulomb en élastostatique et élastodynamique. Étude mathématique et résolution numérique, thèse de doctorat