Tenseur des contraintes

Le tenseur des contraintes est une représentation utilisée en mécanique des milieux continus pour caractériser l'état de contrainte, c'est-à-dire les efforts intérieurs mis en jeu entre les portions déformées du milieu. Le terme a été introduit par Cauchy vers 1822.

Comme les efforts intérieurs sont définis pour chaque surface coupant le milieu (on parle d'ailleurs également d'efforts surfaciques), le tenseur est défini localement, en chaque point du solide. L'état de contrainte du solide est donc représenté par un champ tensoriel. On parle aussi de ce fait de champ de contrainte.

Dans le cadre de l'élasticité linéaire, le champ de contrainte est relié au champ de déformation par la loi de Hooke généralisée, c'est-à-dire que l'on peut écrire l'équation tensorielle (et non algébrique) $\sigma =E\varepsilon$.

Dans le cadre de la géologie structurale et de la tectonique, on parle fréquemment de tenseur de paléo-contraintes. Il représente la partie anisotrope du tenseur des contraintes, responsable des déformations comme les plis, les failles ou les schistosités. La valeur absolue des termes de la matrice n'est pas accessible, mais il est possible de retrouver l'orientation du triaxe principal, ainsi que le rapport d'intensité entre ces trois axes.

Dans certains cas, il est possible de visualiser ces contraintes par la méthode de photoélasticimétrie.

Construction du tenseur

Dans les cas de sollicitation simples — traction/compression uniaxiale, flexion, torsion —, la contrainte peut être représentée par un simple nombre (scalaire). Par ailleurs, les logiciels de calcul par éléments finis restituent une carte couleur représentant la contrainte équivalente, qui est elle aussi un scalaire. Mais pour décrire précisément l'état de contrainte, il faut utiliser une matrice 3×3, ou un tenseur d'ordre 2.

Prenons une base $({\vec {e_{1}}},{\vec {e_{2}}},{\vec {e_{3}}})$ et un point M de la pièce. Considérons un cube de matière autour de M, d'arête infinitésimale dx = a, et dont les arêtes sont parallèles aux axes du repère.

numérotation des faces du cube

Numérotons ses faces :

les faces i et -i sont les faces normales à ${\vec {e_{i}}}$, en partant du centre du cube, ${\vec {e_{i}}}$ pointe vers i, la face -i étant la face opposée.

Dans un premier temps, nous ne considérons que les faces numérotées positivement.

Indices des composantes du tenseur

Sur la face j s'exerce un vecteur-force ${\vec {\mathrm {F} }}_{j}$ qui a trois composantes :

${\vec {\mathrm {F} }}_{j}={\begin{pmatrix}\mathrm {F} _{1j}\\\mathrm {F} _{2j}\\\mathrm {F} _{3j}\end{pmatrix}}$

F_ij étant la composante selon ${\vec {e_{i}}}$ du vecteur-force s'exerçant sur la face j.

La surface de chaque facette étant a², on peut définir neuf composantes σ_ij homogènes à des contraintes :

$\sigma _{ij}={\frac {\mathrm {F} _{ij}}{a^{2}}}$

On décrit donc l'état de contrainte par le tenseur

$\mathrm {T} (\mathrm {M} )={\begin{pmatrix}\sigma _{11}&\sigma _{12}&\sigma _{13}\\\sigma _{21}&\sigma _{22}&\sigma _{23}\\\sigma _{31}&\sigma _{32}&\sigma _{33}\\\end{pmatrix}}$

T est un tenseur d'ordre 2, à 3 lignes et 3 colonnes. Il est défini localement pour un point M donné.

En mécanique, on n'utilise pas toujours la notation généralisée $({\vec {e_{i}}})$ pour la base. Si l'on note la base $({\vec {x}},{\vec {y}},{\vec {z}})$, les composantes du tenseur se notent alors :

$\mathrm {T} (\mathrm {M} )={\begin{pmatrix}\sigma _{xx}&\sigma _{xy}&\sigma _{xz}\\\sigma _{yx}&\sigma _{yy}&\sigma _{yz}\\\sigma _{zx}&\sigma _{zy}&\sigma _{zz}\\\end{pmatrix}}$

Les termes hors diagonale correspondant à du cisaillement, on les note souvent τ_ij , les composantes du tenseur se notent alors :

$\mathrm {T} (\mathrm {M} )={\begin{pmatrix}\sigma _{xx}&\tau _{xy}&\tau _{xz}\\\tau _{yx}&\sigma _{yy}&\tau _{yz}\\\tau _{zx}&\tau _{zy}&\sigma _{zz}\\\end{pmatrix}}$

Symétrie du tenseur des contraintes

En statique, le tenseur des contraintes est toujours symétrique, c'est-à-dire que :

σ_i j = σ_j i

ce qui traduit l'équilibre en moment d'un volume infinitésimal.

Le tenseur s'écrit donc :

$\mathrm {T} _{ij}={\begin{pmatrix}\sigma _{11}&\sigma _{12}&\sigma _{13}\\\sigma _{12}&\sigma _{22}&\sigma _{23}\\\sigma _{13}&\sigma _{23}&\sigma _{33}\\\end{pmatrix}}$.

Du fait de cette symétrie, on peut écrire le tenseur comme un vecteur, selon la notation de Voigt : en définissant

• σ₁ = σ₁₁, σ₂ = σ₂₂, σ₃ = σ₃₃ ;
• σ₄ = σ₂₃, σ₅ = σ₁₃, σ₆ = σ₁₂ ;

On peut alors mettre le tenseur sous la forme :

$\mathrm {T} _{i}={\begin{pmatrix}\sigma _{1}\\\sigma _{2}\\\sigma _{3}\\\sigma _{4}\\\sigma _{5}\\\sigma _{6}\\\end{pmatrix}}$.

Ceci facilite l'écriture de la loi de Hooke généralisée. On voit aussi que l'espace des contraintes est un espace vectoriel à six dimensions.

Pression isostatique

La pression isostatique p est définie comme le tiers de la trace de la matrice, c'est-à-dire comme la moyenne des termes diagonaux :

$p={\frac {\mathrm {tr} (\mathrm {T} )}{3}}={\frac {\sigma _{11}+\sigma _{22}+\sigma _{33}}{3}}$

Sa valeur ne dépend pas du repère x y z utilisé.

C'est une généralisation de la notion de pression hydrostatique dans les liquides. Dans le cadre de la géophysique, on parle de pression lithostatique. Toutefois, dans ces cas-là, on considère -p : une contrainte de compression a une valeur négative, p est donc négatif dans ces cas-là.

Principe de la coupure

Une manière simple de déterminer le tenseur des contraintes consiste à employer le « principe de la coupure ». Il s'agit d'une opération de pensée dans laquelle on scie l'objet selon un plan donné.

Supposons un solide se déformant sous l'effet de deux forces extérieures opposées. Si l'on coupe le solide en deux et que l'on sépare les moitiés, alors chaque moitié n'est soumise qu'à une seule force et donc n'est plus déformée mais mise en mouvement. Pour que chaque moitié retrouve sa déformation, il faut exercer une pression sur chacune des faces de la coupure.

Lorsqu'il y a des symétries évidentes à un problème, le choix de plans de coupe judicieux permet de déterminer de manière simple le tenseur des contraintes. C'est ainsi que l'on peut déterminer que dans le cas de la torsion d'un tube, on a un cisaillement pur.

Calcul des vecteurs-contrainte

Tétraèdre permettant de calculer le vecteur-contrainte normal à une face quelconque

Considérons le petit élément de volume $d\tau$ délimité par le tétraèdre de sommets O, (dx₁,0,0),(0,dx₂,0), (0,0,dx₃). Les vecteurs normaux aux faces sont donc ${\vec {e}}_{1},{\vec {e}}_{2},{\vec {e}}_{3}$ et le vecteur de composantes $(1/\mathrm {d} x_{1},1/\mathrm {d} x_{2},1/\mathrm {d} x_{3})$. La force ${\vec {\mathrm {F} }}$ s'exerçant sur une face vérifie

${\vec {\mathrm {F} }}=\mathrm {T} \cdot {\vec {n}}$

où ${\vec {n}}$ le vecteur caractéristique de la face, c'est-à-dire le vecteur normal ayant pour norme l'aire de la face.

On a par exemple sur la face [O, (dx₁,0,0),(0,dx₂,0)], la relation

${\vec {\mathrm {F} }}={\begin{pmatrix}\mathrm {F} _{1}\\\mathrm {F} _{2}\\\mathrm {F} _{3}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}\sigma _{11}&\sigma _{12}&\sigma _{13}\\\sigma _{12}&\sigma _{22}&\sigma _{23}\\\sigma _{13}&\sigma _{23}&\sigma _{33}\\\end{pmatrix}}\cdot {\begin{pmatrix}0\\0\\(\mathrm {d} x_{1}\cdot \mathrm {d} x_{2})/2\\\end{pmatrix}}$

Contraintes principales

Puisque le tenseur des contraintes est une matrice symétrique, il existe (au moins) une base orthonormée de l'espace dans laquelle le tenseur des contraintes est une matrice diagonale :

$\mathrm {T} _{ij}={\begin{pmatrix}\sigma _{1}&0&0\\0&\sigma _{2}&0\\0&0&\sigma _{3}\\\end{pmatrix}}$.

Les valeurs σ₁, σ₂ et σ₃ sont appelées contraintes principales (il ne faut pas les confondre avec les contraintes en notation de Voigt).

On rencontre également souvent la notation : $\mathrm {\overset {=}{\sigma }} ={\begin{pmatrix}\sigma _{I}&0&0\\0&\sigma _{II}&0\\0&0&\sigma _{III}\\\end{pmatrix}}_{({\overrightarrow {I}},{\overrightarrow {II}},{\overrightarrow {III}})}$, avec $\sigma _{I}$, $\sigma _{II}$ et $\sigma _{III}$ les contraintes principales, et $({\overrightarrow {I}},{\overrightarrow {II}},{\overrightarrow {III}})$ un repère principal, c'est-à-dire un repère dans lequel la représentation matricielle du tenseur est diagonale.

Invariants du tenseur des contraintes

Les contraintes principales permettent de déterminer les invariants du tenseur, c'est-à-dire les valeurs qui sont indépendantes de la base :

$\mathrm {I} _{1}=\sigma _{1}+\sigma _{2}+\sigma _{3}=\mathrm {tr} (\mathrm {T} _{ij})\;$ ;

$\mathrm {I} _{2}=\sigma _{1}\sigma _{2}+\sigma _{2}\sigma _{3}+\sigma _{3}\sigma _{1}-\mathrm {tr} (\mathrm {com} (\mathrm {T} _{ij}))=\sigma _{11}\sigma _{22}+\sigma _{22}\sigma _{33}+\sigma _{33}\sigma _{11}-\sigma _{12}^{2}-\sigma _{23}^{2}-\sigma _{31}^{2}$ ;

$\mathrm {I} _{3}=\sigma _{1}\sigma _{2}\sigma _{3}=\mathrm {det} (\mathrm {T} _{ij})\;$.

Notons que l'on a :

$p={\frac {\mathrm {I} _{1}}{3}}$

Déviateur

Le tenseur des contraintes peut se décomposer en une somme de deux tenseurs : le déviateur (s_ij ) et la pression isostatique p⋅(δ_ij ) :

$\mathrm {T} _{ij}={\begin{pmatrix}s_{11}&s_{12}&s_{13}\\s_{12}&s_{22}&s_{23}\\s_{13}&s_{23}&s_{33}\\\end{pmatrix}}+{\begin{pmatrix}p&0&0\\0&p&0\\0&0&p\\\end{pmatrix}}$.

Cette décomposition simplifie l'expression des énergies de déformation élastique, de changement de volume et de distorsion.

Le déviateur a les mêmes directions principales que le tenseur des contraintes, on a alors dans ce repère :

$s_{ij}={\begin{pmatrix}s_{1}&0&0\\0&s_{2}&0\\0&0&s_{3}\\\end{pmatrix}}$.

On peut définir des invariants pour le déviateur :

$\mathrm {J} _{1}=s_{1}+s_{2}+s_{3}=\mathrm {tr} (s_{ij})=0$ ;

$\mathrm {J} _{2}=-s_{1}s_{2}-s_{2}s_{3}-s_{1}s_{3}$ ;

$\mathrm {J} _{3}=s_{1}s_{2}s_{3}=\mathrm {det} (s_{ij})$.

Notons que l'on a aussi :

$\mathrm {J} _{1}=s_{11}+s_{22}+s_{33}$ ;

${\begin{aligned}\mathrm {J} _{2}&={\tfrac {1}{2}}\sum _{i,j}s_{ij}s_{ji}\\&={\tfrac {1}{2}}(s_{1}^{2}+s_{2}^{2}+s_{3}^{2})\\&={\tfrac {1}{6}}\left((\sigma _{11}-\sigma _{22})^{2}+(\sigma _{22}-\sigma _{33})^{2}+(\sigma _{33}-\sigma _{11})^{2}+6(\sigma _{12}^{2}+\sigma _{23}^{2}+\sigma _{13}^{2})\right)\\&={\tfrac {1}{6}}\left((\sigma _{1}-\sigma _{2})^{2}+(\sigma _{2}-\sigma _{3})^{2}+(\sigma _{1}-\sigma _{3})^{2}\right)\\&={\tfrac {1}{3}}\mathrm {I} _{1}^{2}-\mathrm {I} _{2}\\\end{aligned}}$ ;

${\begin{aligned}\mathrm {J} _{3}&={\tfrac {1}{3}}\sum _{i,j,k}s_{ij}s_{jk}s_{ki}\\&={\tfrac {1}{3}}(s_{1}^{3}+s_{2}^{3}+s_{3}^{3})\\&=s_{1}s_{2}s_{3}\\&={\tfrac {2}{27}}\mathrm {I} _{1}^{3}-{\tfrac {1}{3}}\mathrm {I} _{1}\mathrm {I} _{2}+\mathrm {I} _{3}\end{aligned}}$.

Ces invariants sont utiles pour définir le domaine élastique et la contrainte de comparaison.

Contrainte équivalente

Il est souvent utile de synthétiser le tenseur des contraintes par un scalaire, appelé « contrainte équivalente », σ_e :

σ_e = ƒ(σ_ij)

On peut ensuite comparer cette valeur avec les paramètres du matériau établis par l'essai de traction uniaxial, et notamment la limite d'élasticité R_e et la résistance à la traction R_m. Les deux contraintes équivalentes les plus utilisées sont celles de Tresca et de von Mises.

Cette approche est toutefois insuffisante dans les cas d'endommagement complexe, comme la fatigue pour des contraintes triaxiales.

Triaxialité des contraintes

La triaxialité des contraintes, notée η (lettre grecque « êta »), est le rapport entre la contrainte isostatique et la contrainte équivalente de von Mises :

$\eta ={\frac {{\frac {1}{3}}tr({\overline {\overline {\sigma }}})}{\sigma _{eq}^{VM}}}$

Ce paramètre est important dans l'étude de l'endommagement et de la mécanique de la rupture. Dans les cas simples, on a :

• cisaillement pur : $\eta =0$
• traction uniaxiale : $\eta =0.33$
• équi-bitraction : $\eta =0.66$
• compression uniaxiale : $\eta =-0.33$
• pression hydrostatique : $\eta \rightarrow \infty$

Linéarisation des contraintes

La linéarisation des contraintes est une méthode utilisée pour l'étude des enveloppes minces et n particulier des appareils sous pression. Elle consiste à décomposer le tenseur des contraintes en une contrainte de membrane et une contrainte de flexion.

Pour cela, on définit une ligne perpendiculaire à la surface libre, désignée ci-dessous comme l'axe x, et dont la longueur L est l'épaisseur de la paroi :

contrainte de membrane : $\sigma _{\mathrm {m} }={\frac {1}{\mathrm {L} }}\int _{0}^{\mathrm {L} }\sigma (x)\cdot \mathrm {d} x$

contrainte de flexion : $\sigma _{\mathrm {f} }={\frac {12}{\mathrm {L} ^{3}}}\int _{0}^{\mathrm {L} }\sigma (x)\cdot x\cdot \mathrm {d} x$

où σ est une composante du tenseur des contraintes. On linéarise ainsi chaque composante du tenseur.

Voir aussi

Articles connexes

• Tenseur
• Tenseur des constantes élastiques (ou des rigidités)
• Tenseur des souplesses
• Jauge de déformation
• Cercle de Mohr (Christian Otto Mohr)
• Mesures de tenseur de contraintes par diffraction de neutron

Liens externes

• (fr) Les critères de plasticité : complément d'information, ENS Cachan
• (en) [PDF] G. Backus, Continuum Mechanics, Samizdat Press
• (en) [PDF] B. Kennett, Lecture Notes for a Course on Continuum Mechanics, Samizdat Press