Rampe (fonction)

La fonction rampe (ou rampe) est une fonction réelle élémentaire à un argument que l'on peut facilement calculer en calculant la moyenne arithmétique de sa variable et de la valeur absolue de celle-ci.

Cette fonction trouve son application en ingénierie, par exemple dans la théorie du traitement du signal.

Définitions

Graphe de la fonction rampe.

La fonction rampe ($R:\mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R}$) peut être définie de différentes façons :

$R(x):={\begin{cases}x,&x\geq 0;\\0,&x<0\end{cases}}$

• La moyenne d'une droite de pente unité et de sa valeur absolue :

$R(x):={\frac {x+|x|}{2}}$

Ceci peut dériver de la définition de la fonction $\max(a,b)={\frac {a+b+|a-b|}{2}}$, avec $a=x$ et $b=0$

• La fonction de Heaviside multipliée par une droite de pente unité :

$R\left(x\right):=xH\left(x\right)$

• La convolution de la fonction de Heaviside avec elle-même :

$R\left(x\right):=(H*H)\left(x\right)$

• L'intégrale de la fonction de Heaviside :

$R(x):=\int _{-\infty }^{x}H(\xi )\mathrm {d} \xi$

Propriétés analytiques

Positivité

La fonction rampe est positive sur la droite réelle, et en particulier nulle pour tout réel négatif.

Dérivée

Sa dérivée est la fonction de Heaviside :

$R'(x)=H(x)\ \mathrm {si} \ x\neq 0$

Transformée de Fourier

Sa transformée de Fourier vaut

${\mathcal {F}}\{R\}(f)=\int _{0}^{+\infty }R(x)e^{-2i\pi fx}={\frac {i\delta '(f)}{4\pi }}-{\frac {1}{4\pi ^{2}f^{2}}},$

où δ' désigne la dérivée de la fonction de Dirac.

Transformée de Laplace

Sa transformée de Laplace vaut

${\mathcal {L}}\{R\}(s)=\int _{0}^{+\infty }R(x)e^{-sx}={\frac {1}{s^{2}}}.$

Références

• (en) Eric W. Weisstein, « Ramp function », sur MathWorld

Voir aussi

• Traitement du signal
• Fonction de Heaviside
• Fonctions élémentaires