Birapport

Le rapport anharmonique ou birapport est un outil puissant dans la géométrie, en particulier la géométrie projective. Le nom de rapport anharmonique a été créé par Michel Chasles mais la notion remonte à Pappus d'Alexandrie.

Rapport anharmonique de quatre points

Les divisions sont supposées régulières. Le birapport de C, D par rapport à A, B est : ${\frac {\frac {-2}{-1}}{\frac {-3}{-2}}}={\frac {-4}{-3}}$.

Les divisions sont supposées régulières. Le birapport de C, D par rapport à A, B est : ${\frac {-1}{3}}=1-{\frac {4}{3}}$.

Si A, B, C et D sont quatre points distincts d'une droite (d), on appelle birapport, ou rapport anharmonique de (A, B) et (C, D), le rapport des mesures algébriques suivant :

$r={\frac {\frac {\overline {\mathrm {CA} }}{\overline {\mathrm {CB} }}}{\frac {\overline {\mathrm {DA} }}{\overline {\mathrm {DB} }}}}$

Il est essentiel de remarquer que le lecteur ne connaît pas nécessairement l'ordre des points sur la droite et que, selon les permutations, le birapport ne prend pas 4! = 24 valeurs mais seulement six : $~r;1-r;{\frac {1}{r}};{\frac {1}{1-r}};1-{\frac {1}{r}};{\frac {1}{1-{\frac {1}{r}}}}$

Propriétés

Ce rapport est indépendant du repère choisi sur la droite (d) et de l'unité de longueur choisie.

Il est facile de voir que si l'on permute, en même temps A/B et C/D, on ne modifie pas le rapport anharmonique.

Ce rapport reste invariant pour de nombreuses transformations géométriques : isométries, similitudes, transformations affines. La dualité par pôles et polaires réciproques conserve aussi le rapport anharmonique de quatre éléments d'une structure unidimensionnelle.

Il reste aussi invariant pour des homographies comme la projection centrale…

Si C est le barycentre de (A, a) et (B, b) et si D est celui de (A, a') et (B, b') alors le rapport anharmonique est

${\frac {ab'}{a'b}}$

Ce qui explique d'ailleurs qu'une transformation conservant les barycentres conserve aussi les rapports anharmoniques

Rapport anharmonique de quatre droites concourantes

Un résultat important en géométrie projective stipule qu'une projection centrale conserve le rapport anharmonique. Il permet de dire dans la figure ci-jointe que les rapports anharmoniques de (A, B ; C, D) et (A', B' ; C' D') sont égaux quelles que soient les droites qui portent la série des quatre points. (Une démonstration est réalisable en utilisant plusieurs fois le théorème de Thalès).

Puisque ce rapport est indépendant de la sécante aux quatre droites, ce rapport ne dépend que de la position relative des quatre droites. Il est alors appelé rapport anharmonique des droites

$(d_{\mathrm {A} },d_{\mathrm {B} };d_{\mathrm {C} },d_{\mathrm {D} })$

On montre, en fait, que ce rapport est égal à ${\frac {\frac {\sin {\mathrm {COA} }}{\sin {\mathrm {COB} }}}{\frac {\sin {\mathrm {DOA} }}{\sin {\mathrm {DOB} }}}}$, ce qui explique que le birapport soit indépendant de la transversale choisie.

Division harmonique

Lorsque le rapport anharmonique est égal à -1, on dit que les quatre points sont en division harmonique. Le point D est alors appelé le conjugué de C par rapport à A et B. On peut prouver que C est aussi le conjugué de D par rapport à ces mêmes points.

Exemple 1: la suite harmonique

Le point d'abscisse ${\frac {1}{3}}$ est le conjugué du point d'abscisse 1 par rapport aux points d'abscisse 0 et ${\frac {1}{2}}$.

le point d'abscisse ${\frac {1}{4}}$ est le conjugué de celui d'abscisse ${\frac {1}{2}}$ par rapport aux points d'abscisse 0 et ${\frac {1}{3}}$.

De manière générale, le point d'abscisse ${\frac {1}{n+2}}$ est le conjugué du point d'abscisse ${\frac {1}{n}}$ par rapport aux points d'abscisse ${\frac {1}{n+1}}$ et 0

On définit ainsi la suite de nombres $1,{\frac {1}{2}},{\frac {1}{3}},{\frac {1}{4}}$… appelée suite harmonique que l'on retrouve en musique pour définir la gamme harmonique

Exemple 2 : moyenne harmonique

Le conjugué de 0 par rapport à x et y est la moyenne harmonique de x et de y :

${\frac {2}{{\frac {1}{x}}+{\frac {1}{y}}}}$

Exemple 3 : barycentre

Si C est le barycentre de (A, a) et (B, b) alors son conjugué par rapport à A et B est le barycentre de (A, -a) et (B, b)

Pour d'autres exemples :

Rapport anharmonique, longueurs, aires et angles

Schéma de triangles liés par un rapport anharmonique

Outre sa signification en termes de birapport de longueurs orientées, le rapport anharmonique concerne aussi les angles et les aires orientés. Par exemple sur le schéma ci-contre l'aire des divers triangles peuvent s'exprimer de deux manières.

Par exemple pour OAB on a

${\frac {1}{2}}\times \mathrm {OH} \times \mathrm {AB} ={\frac {1}{2}}\times \mathrm {OA} \times \mathrm {OB} \times \sin({\widehat {\mathrm {AOB} }})$.

D'où, après simplifications de OH² ou de OA×OB×OC×OD, l'égalité des 3 birapports : de longueurs, d'aires et de sinus.

Rapport anharmonique sur un cercle

La propriété du birapport des sinus a une conséquence pour 6 points cocycliques ABCDMP. Les angles ${\widehat {\mathrm {AMB} }}$ et ${\widehat {\mathrm {APB} }}$ étant égaux ou supplémentaires, leurs sinus sont égaux. Le birapport des droites M(ABCD) est égal à celui des droites P(ABCD). En conséquence on peut parler du birapport de 4 points sur un cercle. On démontre, sans les sinus, en géométrie projective que cette propriété est vraie pour une conique quelconque (étant donnée une conique, si ABCDM sont fixes et si P parcourt la conique, alors le birapport des droites P(ABCD) est constant).

On peut en déduire que l'inversion de quatre points alignés, EFGH, de centre M, conserve leur birapport sur leurs images cocycliques ABCD.

Division harmonique, théorèmes de Ceva et de Ménélaüs

Le théorème de Ceva et le théorème de Ménélaüs sont reliés par un rapport harmonique.

Les deux théorèmes impliquent deux relations :

${\frac {\overline {\mathrm {BD} }}{\overline {\mathrm {DC} }}}\cdot {\frac {\overline {\mathrm {CE} }}{\overline {\mathrm {EA} }}}\cdot {\frac {\overline {\mathrm {AF} }}{\overline {\mathrm {FB} }}}=1$ et ${\frac {\overline {\mathrm {D'B} }}{\overline {\mathrm {D'C} }}}\cdot {\frac {\overline {\mathrm {EC} }}{\overline {\mathrm {EA} }}}\cdot {\frac {\overline {\mathrm {FA} }}{\overline {\mathrm {FB} }}}=1$.

qui, après simplification, mènent à :

${\frac {\frac {\overline {\mathrm {DB} }}{\overline {\mathrm {DC} }}}{\frac {\overline {\mathrm {D'B} }}{\overline {\mathrm {D'C} }}}}=-1$,

ce qui exprime que les points D et D' divisent le segment [BC] selon une division harmonique.

En passant cette propriété donne une construction du conjugué de D par rapport à BC, en prenant un point arbitraire A hors de (BC) et un point arbitraire M sur (AD).

Complexes

Déf : Soient α, β, γ et δ des complexes deux à deux distincts. On définit leur birapport, ou rapport anharmonique, $[\alpha ,\beta ,\gamma ,\delta ]={\frac {(\alpha -\gamma )(\beta -\delta )}{(\alpha -\delta )(\beta -\gamma )}}\cdot$
Prop : Quatre points (d'affixes) α, β, γ et δ sont cocycliques ou alignés ssi [α, β, γ, δ] ∈ ℝ.

Prop : Il existe une relation de Chasles multiplicative dans l'ensemble des rapports anharmoniques mettant en jeu cinq nombres a, b, c, d et e. $[a,b,c,d]\times [a,b,d,e]=[a,b,c,e]$. Les nombres a et b ne changent pas, le nombre d sert d'intermédiaire entre c et e. Un simple développement de l'expression permet de la vérifier.

Prop : on trouvera dans Géométrie analytique classique, cité en bibliographie, la spectaculaire « formule des six birapports » énoncée par Daniel Perrin.

Bibliographie

• Jean-Denis Eiden, Géométrie analytique classique, Calvage & Mounet (ISBN 978-2-91-635208-4)
• Bruno Ingrao, Coniques projectives, affines et métriques, Calvage & Mounet (ISBN 978-2-91-635212-1)