Série harmonique

En mathématiques, la série harmonique est une série de nombres réels. C'est la série des inverses des entiers naturels non nuls. Elle tire son nom par analogie avec la moyenne harmonique de la même façon que les séries arithmétiques et géométriques peuvent être mises en parallèle avec les moyennes arithmétiques et géométriques.

Elle fait partie de la famille plus large des séries de Riemann, qui sont utilisées comme séries de référence : la nature d'une série est souvent déterminée en la comparant à une série de Riemann et en utilisant les théorèmes de comparaison.

Définition

Le terme général $(u_{n})$ de la série harmonique est défini par

$\forall n\in \mathbb {N} ^{*},\ u_{n}={\frac {1}{n}}$

On note classiquement $H_{n}$ la n-ième somme partielle de la série harmonique, qui est donc égal à

$H_{n}=1+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{4}}+\cdots +{\frac {1}{n}}=\sum _{k=1}^{n}{\frac {1}{k}}$.

La série harmonique diverge

Calcul des premiers termes

En calculant les premières sommes partielles de la série harmonique, il apparaît que la suite de nombres obtenus est croissante, mais à croissance lente : on pourrait croire qu'il s'agit d'une série convergente.

Valeur de n	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	17	18	19	20
Valeur approchée de Hn	1	1,5	1,8	2,1	2,3	2,5	2,6	2,7	2,8	2,9	3,0	3,1	3,2	3,25	3,32	3,38	3,44	3,49	3,55	3,60

En fait, la série harmonique diverge, elle tend vers +∞.

Valeur de n	10	102	103	104	105	106	107	108	109
Valeur approchée de Hn	2,9	5,2	7,5	9,8	12,1	14,4	16,7	19,0	21,3

Dans le tableau ci-dessus, à chaque fois qu'on multiplie la valeur de n par 10, il semble qu'on rajoute une constante à H_n, de l'ordre de 2,3 ≃ ln(10). Ce comportement apparent est de type logarithmique en n. C'est bien ce qu'on obtient en faisant une étude asymptotique plus poussée.

Démonstrations de divergence

La première démonstration de la divergence de la série harmonique est due à Nicole Oresme, parue dans Questiones super geometriam Euclidis (1360). Elle consiste à remarquer que :

H₄ = 1 + 1/2 + (1/3 + 1/4) ≥ 1 + 1/2 + (1/4 + 1/4) = 1 + 1/2 + 1/2

H₈ = 1 + 1/2 + (1/3 + 1/4) + (1/5 + 1/6 + 1/7 + 1/8) ≥ 1 + 1/2 + (1/4 + 1/4) + (1/8 + 1/8 + 1/8 + 1/8) = 1 + 1/2 + 1/2 + 1/2

et ainsi de suite, les H d'indice une puissance de 2 augmentant indéfiniment.

On peut aussi utiliser un raisonnement par l'absurde. Si la suite de terme général H_n convergeait vers une limite finie, la suite de terme général H_2n, en tant que suite extraite, convergerait vers la même limite, et donc la suite de terme général H_2n – H_n convergerait vers 0. Or, on peut minorer les termes de cette suite :

$H_{2n}-H_{n}=\sum _{k=n+1}^{2n}{\frac {1}{k}}\geq \sum _{k=n+1}^{2n}{\frac {1}{2k}}={\frac {1}{2}}.$

Ainsi, la suite de terme général H_n ne peut converger vers une limite finie. En tant que suite croissante de réels, elle diverge donc vers +∞.

On peut aussi comparer la série harmonique à une série télescopique bien choisie

$v_{n}=\ln(n+1)-\ln n=\ln \left(1+{\frac {1}{n}}\right)\sim {\frac {1}{n}}.$

Alors $v_{n}$ est le terme général d'une série divergente, à termes positifs, donc par comparaison, la série harmonique diverge elle aussi.

On peut aussi montrer le résultat à l'aide de la méthode de comparaison série-intégrale (c'est un peu ce qui est caché, d'ailleurs, dans le choix « judicieux » de la série télescopique).

Développement asymptotique de H_n

Tous les termes du développement asymptotique peuvent s'obtenir par la méthode de comparaison série-intégrale.

Équivalent de H_n

$\int _{1}^{6}{\frac {1}{t}}\mathrm {d} t\leq H_{5}$

On utilise l'encadrement suivant, lié à la décroissance de la fonction inverse

$\int _{n}^{n+1}{\frac {1}{t}}\mathrm {d} t\leq {\frac {1}{n}}\leq \int _{n-1}^{n}{\frac {1}{t}}\mathrm {d} t.$

En sommant de 1 à N l'inégalité de gauche et, pour celle de droite, en sommant de 2 à N et en ajoutant 1, on arrive à

$\int _{1}^{N+1}{\frac {1}{t}}\mathrm {d} t\leq H_{N}\leq 1+\int _{1}^{N}{\frac {1}{t}}\mathrm {d} t.$

Puis, en calculant les deux membres et en constatant qu'ils sont tous deux équivalents à $\ln N$, on obtient :

$H_{N}\sim \ln(N).$

Second terme du développement asymptotique

La suite $\ (H_{n}-\ln(n))$ admet une limite finie qui est traditionnellement notée $\gamma$ et appelée constante d'Euler. On a donc la formule d'Euler

$\ H_{n}=\ln(n)+\gamma +o(1).$

Les 25 premiers chiffres du développement décimal de la constante d'Euler sont :

$\gamma \simeq 0,5772156649015328606065120.$

Pour la démonstration de la formule d'Euler, et la généralisation à d'autres séries, voir l'article comparaison série-intégrale.

Termes suivants du développement asymptotique

La méthode est détaillée dans l'article comparaison série-intégrale ; les premiers termes du développement sont

$\sum _{k=1}^{n}{\frac {1}{k}}=\ln(n)+\gamma +{\frac {1}{2n}}-{\frac {1}{12n^{2}}}+{\frac {1}{120n^{4}}}-{\frac {1}{252n^{6}}}+{\frac {1}{240n^{8}}}-{\frac {1}{132n^{10}}}+O\left({\frac {1}{n^{12}}}\right).$

La série harmonique alternée

Le terme général $(u_{n})$ de la série harmonique alternée est définie par

$\forall n\in \mathbb {N} ^{*},\ u_{n}={\frac {(-1)^{n}}{n}}.$

C'est donc une variante de la série harmonique. L'alternance des signes change tout puisque cette série converge, par le critère de convergence des séries alternées. On peut se servir de l'étude effectuée avec la série harmonique pour déterminer sa somme (en séparant termes pairs et impairs dans le calcul des sommes partielles, et en appliquant la formule d'Euler précédente) :

$\sum _{n=1}^{+\infty }{\frac {(-1)^{n}}{n}}=-1+{\frac {1}{2}}-{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{4}}+\cdots +{\frac {(-1)^{n}}{n}}+\cdots =-\ln 2.$

Démonstration

Sachant déjà que la série converge, il suffit d'étudier les sommes partielles d'ordre pair.

${\begin{aligned}\sum _{n=1}^{2N}{\frac {(-1)^{n}}{n}}&=\sum _{p=1}^{N}{\frac {1}{2p}}-\sum _{p=0}^{N-1}{\frac {1}{2p+1}}\\&=2\sum _{p=1}^{N}{\frac {1}{2p}}-\left(\sum _{p=0}^{N-1}{\frac {1}{2p+1}}+\sum _{p=1}^{N}{\frac {1}{2p}}\right)\\&=\sum _{p=1}^{N}{\frac {1}{p}}-\sum _{n=1}^{2N}{\frac {1}{n}}\\&=H_{N}-H_{2N}\\&=\ln N+\gamma +o(1)-(\ln(2N)+\gamma +o(1))\\&=-\ln 2+o(1).\end{aligned}}$

Variante  : on peut utiliser la série de Mercator en x = 1 :

$\forall x\in \left]-1,1\right]\quad \ln(1+x)=\sum _{n=0}^{+\infty }(-1)^{n}{\frac {x^{n+1}}{n+1}}.$

Série harmonique et entier naturel

Pour tout entier n≥ 2, H_n n'est jamais entier.

Plus généralement, d'après le théorème de Kürschák, la seule somme d'inverses d'entiers naturels consécutifs qui soit entière est H₁.

Représentation sous forme d'intégrale

La série harmonique peut aussi se calculer à partir d'une intégrale simple, et par ce biais on peut obtenir un prolongement analytique sur $\mathbb {R}$ :

$H_{n}=\int _{0}^{1}{\frac {x^{n}-1}{x-1}}\,\mathrm {d} x$ (en effet, comme le montre l'article Série géométrique, on a ${\frac {x^{n}-1}{x-1}}=1+x+x^{2}+\dots +x^{n-1}$).

Articles connexes

• Nombre harmonique
• Série des inverses des nombres premiers
• Série de Kempner
• Test de condensation de Cauchy