Théorème de Radon-Nikodym-Lebesgue

Le théorème de Radon-Nikodym-Lebesgue est un théorème d'analyse, une branche des mathématiques qui est constituée du calcul différentiel et intégral et des domaines associés.

Définitions

Définitions —  Soit $\scriptstyle \nu$ une mesure positive sur $\scriptstyle (X,{\mathcal {A}})$ et soit $\scriptstyle \rho ,{\tilde {\rho }}$ des mesures positives (resp. réelles, resp. complexes) sur $\scriptstyle (X,{\mathcal {A}})$.

• On dit que $\scriptstyle \rho$ est absolument continue par rapport à $\scriptstyle \nu$, et l'on note $\scriptstyle \rho \ll \nu$, si pour tout $\scriptstyle A\in {\mathcal {A}}$ tel que $\scriptstyle \nu (A)=0$, on a également $\scriptstyle \rho (A)=0$.
• On dit que $\scriptstyle \rho$ est concentrée sur $\scriptstyle E\in {\mathcal {A}}$ si pour tout $\scriptstyle A\in {\mathcal {A}}$ on a $\scriptstyle \rho (A)=\rho (A\cap E)$, ou bien encore $\scriptstyle \rho (A\backslash E)=0$.
• On dit que $\scriptstyle \rho$ et $\scriptstyle {\tilde {\rho }}$ sont étrangères, et l'on note $\scriptstyle \rho \perp {\tilde {\rho }}$, s'il existe $\scriptstyle E\in {\mathcal {A}}$ telle que $\scriptstyle \rho$ soit concentrée par $\scriptstyle E$ et $\scriptstyle {\tilde {\rho }}$ soit concentrée par $\scriptstyle E^{c}$.

Théorème de Radon-Nikodym-Lebesgue

Le théorème de Radon-Nikodym-Lebesgue est un résultat de théorie de la mesure, cependant une démonstration faisant intervenir les espaces de Hilbert a été donnée par le mathématicien John von Neumann au début du XX^e siècle. Il s'énonce de la façon suivante :

Théorème de Radon-Nikodym-Lebesgue — Soient $\scriptstyle \nu$ une mesure positive σ-finie sur $\scriptstyle \ (X,{\mathcal {A}})$ et $\scriptstyle \mu$ une mesure positive σ-finie (resp. réelle, resp. complexe) sur $\scriptstyle (X,{\mathcal {A}})$. Alors :

(i) Il existe un unique couple de mesures positives σ-finies (resp. réelles, resp. complexes) $\scriptstyle (\mu _{1},\mu _{2})$ tel que :

• $\mu =\mu _{1}+\mu _{2},$
• $\mu _{1}\ll \nu ,$
• $\mu _{2}\perp \nu .$

Cette décomposition s'appelle la décomposition de Lebesgue de $\scriptstyle \mu$.

(ii) Il existe une unique (à égalité $\scriptstyle \nu$-presque partout près) fonction $\scriptstyle h$ $\scriptstyle \nu$-intégrable mesurable positive (resp. réelle, resp. complexe), telle que pour tout $\scriptstyle A\in {\mathcal {A}}$ on ait :

$\mu _{1}(A)=\int _{A}h~\mathrm {d} \nu =\int _{X}1_{A}h~\mathrm {d} \nu .$

Cette fonction s'appelle la dérivée de Radon-Nykodym de $\scriptstyle \mu _{1}$ par rapport à $\scriptstyle \nu$.

Densité d'une mesure

Définition —  Soit $\scriptstyle \ \nu \$ une mesure positive σ-finie sur $\scriptstyle \ (X,{\mathcal {A}})\$ et soit $\scriptstyle \ \rho \$ une mesure positive σ-finie (resp. réelle, resp. complexe) sur $\scriptstyle \ (X,{\mathcal {A}}).$ On dit que $\scriptstyle \ \rho \$ possède une densité $\scriptstyle \ h\$ par rapport à $\scriptstyle \ \nu \$ si $\scriptstyle \ h\$ est une fonction mesurable positive (resp. $\nu$-intégrable réelle, resp. $\nu$-intégrable complexe), telle que pour tout $\scriptstyle \ A\in {\mathcal {A}}\$ on ait :

$\rho (A)=\int _{A}h~\mathrm {d} \nu =\int _{X}1_{A}\,h~\mathrm {d} \nu .$

On note

$h={\frac {\mathrm {d} \rho }{\mathrm {d} \nu }}.$

En conséquence du théorème de Radon-Nikodym, on a la propriété suivante :

Proposition — Soient $\scriptstyle \ \nu \$ une mesure positive σ-finie sur $\scriptstyle \ (X,{\mathcal {A}})\$ et $\scriptstyle \ \mu \$ une mesure positive σ-finie (resp. réelle, resp. complexe) sur $\scriptstyle \ (X,{\mathcal {A}}).$ Il y a équivalence entre :

• $\mu \ll \nu ,$
• $\scriptstyle \ \mu \$ possède une densité par rapport à $\scriptstyle \ \nu .$

Démonstration

Si $\scriptstyle \ \mu \ll \nu ,$ alors, clairement, $\scriptstyle \ \mu =\mu +0\$ est une décomposition de $\scriptstyle \ \mu \$ satisfaisant le théorème de Radon-Nikodym donc, en vertu de la dernière partie du théorème, $\scriptstyle \ \mu \$ possède une densité par rapport à $\scriptstyle \ \nu .$ Réciproquement, notons $\scriptstyle \ h\$ la densité de $\scriptstyle \ \mu \$ par rapport à $\scriptstyle \ \nu .$ Si

$\nu (A)=\int _{X}1_{A}~\mathrm {d} \nu =0,$

alors $\scriptstyle \ 1_{A}\$ est nul $\scriptstyle \ \nu$-presque partout. Il suit que $\scriptstyle \ 1_{A}\,h\$ est nul $\scriptstyle \ \nu$-presque partout également, donc

$\mu (A)=\int _{X}1_{A}\,h~\mathrm {d} \nu =0.$

L'hypothèse de σ-finitude est importante : par rapport à la mesure de comptage, une mesure est toujours absolument continue mais celle de Lebesgue sur ℝ (par exemple) n'a pas de densité.

Densité de probabilité d'un vecteur aléatoire

Rappel — 

• On appelle densité de probabilité d'une variable aléatoire X à valeurs dans ℝ^d une fonction f mesurable, telle que pour toute partie borélienne A ⊂ ℝ^d :$\mathbb {P} (X\in A)=\int _{\mathbb {R} ^{d}}\ 1_{A}(u)\,f(u)~\mathrm {d} u=\int _{A}\ f(u)~\mathrm {d} u.$
• La loi de probabilité $\scriptstyle \ \mathbb {P} _{X}$ d'une variable aléatoire $\scriptstyle \ X\$ à valeurs dans ℝ^d est la mesure de probabilité définie, pour toute partie borélienne A ⊂ ℝ^d, par :$\mathbb {P} _{X}(A)=\mathbb {P} (X\in A).$
• Si d = 1, X est appelée une variable aléatoire réelle, ou encore v.a.r.

Au vu des définitions, le langage probabiliste diffère légèrement du langage de la théorie de la mesure. Il y a équivalence entre les trois assertions :

• Une variable aléatoire Z à valeur dans ℝ^d possède une densité de probabilité.
• La mesure $\scriptstyle \ \mathbb {P} _{Z}\$ possède une densité par rapport à la mesure de Lebesgue sur ℝ^d.
• La mesure $\scriptstyle \ \mathbb {P} _{Z}\$ est absolument continue par rapport à la mesure de Lebesgue sur ℝ^d.

Le dernier point peut se réécrire, en langage probabiliste.

Critère — Une variable aléatoire Z à valeurs dans ℝ^d possède une densité de probabilité si et seulement si, pour chaque borélien A de ℝ^d dont la mesure de Lebesgue est nulle, on a :

$\mathbb {P} \left(Z\in A\right)=0.$

Ce critère est rarement employé dans la pratique pour démontrer que Z possède une densité, mais il est en revanche utile pour démontrer que certaines probabilités sont nulles. Par exemple, si le vecteur aléatoire Z = (X, Y) possède une densité, alors :

• $\mathbb {P} \left(X=Y\right)=0,$
• $\mathbb {P} \left(X^{2}+Y^{2}=1\right)=0,$

car la mesure de Lebesgue (autrement dit, l'aire) de la première bissectrice (resp. du cercle unité) est nulle.

Plus généralement, la mesure de Lebesgue du graphe d'une fonction mesurable φ étant nulle, il suit que :

• $\mathbb {P} \left(Y=\varphi (X)\right)=0.$

De même, il y a de nombreux exemples où, du fait que l'ensemble $\scriptstyle \ \left\{(x,y)\in \mathbb {R} ^{2}\,|\,\psi (x,y)=0\right\}\$ est de mesure de Lebesgue nulle, on peut conclure que :

• $\mathbb {P} \left(\psi (X,Y)=0\right)=0.$

Le critère de Radon-Nikodym peut aussi être utilisé pour démontrer qu'un vecteur aléatoire ne possède pas de densité, par exemple si :

$Z=\left(\cos \Theta ,\sin \Theta \right),$

où Θ désigne une variable aléatoire suivant la loi uniforme sur [0, 2π], alors Z ne possède pas de densité car :

$\mathbb {P} \left(X^{2}+Y^{2}-1=0\right)=1.$

Remarque — Dans le cas d = 1, une variable aléatoire Z à valeurs dans ℝ possède une densité de probabilité si et seulement si sa fonction de répartition est localement absolument continue.

Bibliographie

(en) L. Egghe, Stopping Time Techniques for Analysts and Probabilists, London Mathematical Society Lecture Note Series (ISBN 978-0-521-31715-3)