« Inégalité de Markov » : différence entre les versions
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Correction de la démonstration du corollaire : il y avait une confusion entre l'implication et l'inclusion de deux ensembles |
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{{Démonstration|On applique l'inégalité de Markov à <math>\scriptstyle\ Z=\phi(Y)\ </math> et à <math>\scriptstyle\ a=\phi(b),\ </math> pour obtenir que |
{{Démonstration|On applique l'inégalité de Markov à <math>\scriptstyle\ Z=\phi(Y)\ </math> et à <math>\scriptstyle\ a=\phi(b),\ </math> pour obtenir que |
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<center><math>\forall b >0,\qquad \mathbb P\left(\phi(Y)\geqslant \phi(b)\right)\leqslant\frac{\mathbb{E}[\phi(Y)]}{\phi(b)}. </math></center> |
<center><math>\forall b >0,\qquad \mathbb P\left(\phi(Y)\geqslant \phi(b)\right)\leqslant\frac{\mathbb{E}[\phi(Y)]}{\phi(b)}. </math></center> |
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La croissance de <math>\scriptstyle\ \phi\ </math> entraîne que <math>\scriptstyle\ \ |
La croissance de <math>\scriptstyle\ \phi\ </math> entraîne que tout événement <math>\scriptstyle\ \omega\ </math> vérifiant : |
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<center> <math> Y(\omega)\geqslant b </math> </center> |
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vérifie aussi l'inégalité : |
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<center> <math>\phi(Y(\omega))\geqslant \phi(b).</math> </center> |
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Ce qui entraîne l'inclusion : |
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<math>\scriptstyle\ \{Y\geqslant b\}\ \subseteq \ \{\phi(Y)\geqslant \phi(b)\}\ </math> et donc que : <math>\scriptstyle\ \mathbb P(Y\geqslant b)\ \leqslant \ \mathbb P(\phi(Y)\geqslant \phi(b)).\ </math>}} |
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== Applications == |
== Applications == |
Version du 11 janvier 2014 à 19:40
En théorie des probabilités, l'inégalité de Markov donne une borne supérieure de la probabilité qu'une variable aléatoire à valeurs positives soit supérieure ou égale à une constante positive. Cette inégalité a été nommée ainsi en l'honneur d'Andrei Markov.
Énoncé
Inégalité de Markov — Soit une variable aléatoire réelle définie sur un espace probabilisé et supposée presque sûrement positive ou nulle. Alors
Corollaire
Elle possède un corollaire fréquemment utilisé:
Corollaire — Soit une fonction croissante et positive ou nulle sur l'intervalle Soit une variable aléatoire réelle définie sur un espace probabilisé et telle que Alors
Applications
- Le choix, dans l'inégalité ci-dessus, de et donne l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev.
- Le choix, dans l'inégalité ci-dessus, de ou bien de et de est le premier pas de la démonstration de l'inégalité de Chernoff ou de l'inégalité de Hoeffding.
- L'inégalité de Markov est souvent appliquée conjointement au lemme de Borel-Cantelli, par exemple pour démontrer la loi forte des grands nombres.