« Somme vectorielle » : différence entre les versions
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Comme cas particulier, E peut être pris égal à <math>\mathbb{K}</math> lui-même, et la somme vectorielle revient tout simplement à additionner des scalaires. Quand ''E'' est égal à <math>\mathbb{K}^n</math>, alors la somme vectorielle est celle définie composante par composante. |
Comme cas particulier, E peut être pris égal à <math>\mathbb{K}</math> lui-même, et la somme vectorielle revient tout simplement à additionner des scalaires. Quand ''E'' est égal à <math>\mathbb{K}^n</math>, alors la somme vectorielle est celle définie composante par composante. Ainsi, si ''u'' et ''v'' sont deux vecteurs de <math>\mathbb{K}^n</math>, leurs coordonnées peuvent d'écrire en colonnes : |
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:<math> u = \begin{pmatrix} u_1 \\ \vdots \\ u_n \end{pmatrix}, v = \begin{pmatrix} v_1 \\ \vdots \\ v_n \end{pmatrix} |
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et les composantes du vecteur somme s'obtiennent en faisant la somme de chacune des coordonnées de ''u'' et de ''v'' : |
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:<math> u + v = \begin{pmatrix} u_1 + v_1 \\ \vdots \\ u_n + v_n \end{pmatrix}. |
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Les propriétés de la somme vectorielle sont les suivantes : |
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Version du 11 janvier 2014 à 10:13
La somme vectorielle est une loi interne intervenant dans la définition d'un espace vectoriel. Deux vecteurs u et v d'un même espace vectoriel E peuvent être additionnés et la somme vaut u+v. Cette loi est interne, car le résultat u+v de la somme est un autre vecteur tout comme le sont u et v.
L'image d'un couple de vecteurs (u,v), noté en général u+v, est la somme des deux vecteurs u et v. Un espace vectoriel est ainsi muni d'une loi, notée +, qui est un loi de composition interne :
Comme cas particulier, E peut être pris égal à lui-même, et la somme vectorielle revient tout simplement à additionner des scalaires. Quand E est égal à , alors la somme vectorielle est celle définie composante par composante. Ainsi, si u et v sont deux vecteurs de , leurs coordonnées peuvent d'écrire en colonnes :
et les composantes du vecteur somme s'obtiennent en faisant la somme de chacune des coordonnées de u et de v :
Les propriétés de la somme vectorielle sont les suivantes :
- (u+v)+w=u+(v+w)
- u+v=v+u
La première propriété (associativité) autorise à oublier les parenthèses dans une somme portant sur plusieurs termes. La deuxième (commutativité) permet de définir la somme d'une famille finie de vecteurs de E, notée . Conjointement, ces deux propriétés signifient que (E,+) est un groupe abélien.
Voir aussi