Somme vectorielle

La somme vectorielle est une loi interne intervenant dans la définition d'un espace vectoriel. Deux vecteurs u et v d'un même espace vectoriel E peuvent être additionnés et la somme vaut u+v. Cette loi est interne, car le résultat u+v de la somme est un autre vecteur tout comme le sont u et v.

L'image d'un couple de vecteurs (u,v), noté en général u+v, est la somme des deux vecteurs u et v. Un espace vectoriel est ainsi muni d'une loi, notée +, qui est un loi de composition interne :

$+:{\begin{array}{lcl}E\times E&\rightarrow &E\\(u,v)&\mapsto &u+v.\end{array}}$

Comme cas particulier, E peut être pris égal à $\mathbb {K}$ lui-même, et la somme vectorielle revient tout simplement à additionner des scalaires. Quand E est égal à $\mathbb {K} ^{n}$, alors la somme vectorielle est celle définie composante par composante.

Les propriétés de la somme vectorielle sont les suivantes :

• (u+v)+w=u+(v+w)
• u+v=v+u

La première propriété (associativité) autorise à oublier les parenthèses dans une somme portant sur plusieurs termes. La deuxième (commutativité) permet de définir la somme d'une famille finie $(v_{i})_{i\in I}$ de vecteurs de E, notée $\sum _{i\in I}v_{i}$. Conjointement, ces deux propriétés signifient que (E,+) est un groupe abélien.

Voir aussi

• multiplication par un scalaire