« Somme vectorielle » : différence entre les versions

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La somme vectorielle est une loi interne intervenant dans la définition d'un espace vectoriel. Deux vecteurs u et v d'un même espace vectoriel E peuvent être additionnés et la somme vaut u+v.

Si $\mathbf {K}$ est un corps commutatif, la définition d'un espace vectoriel E sur $\mathbb {K}$ prévoit l'existence d'une loi interne, une application de $E\times E$ dans $E$ . L'image d'un couple de vecteurs (u,v), noté en général u+v, est la somme des deux vecteurs u et v. Comme cas particulier, E peut être pris égal à $\mathbb {K}$ lui-même, et la somme vectorielle revient tout simplement à additionner des scalaires. Quand E est égal à $\mathbb {K} ^{n}$ , alors la somme vectorielle est celle définie composante par composante.

Les propriétés de la somme vectorielle sont les suivantes :

(u+v)+w=u+(v+w)
u+v=v+u

La première propriété (associativité) autorise à oublier les parenthèses dans une somme portant sur plusieurs termes. La deuxième (commutativité) permet de définir la somme d'une famille finie $(v_{i})_{i\in I}$ de vecteurs de E, notée $\sum _{i\in I}v_{i}$ . Conjointement, ces deux propriétés signifient que (E,+) est un groupe abélien.

Voir aussi

multiplication par un scalaire

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 {{Voir homonymes|Somme}}
 {{article court|espace vectoriel|addition}}
-La '''somme vectorielle''' est une [[Loi de composition interne|loi interne]] intervenant dans la définition d'un espace vectoriel. Deux vecteurs ''u'' et ''v'' d'un même espace vectoriel ''E'' peuvent être additionnés et la somme vaut ''u''+''v''.
+La '''somme vectorielle''' est une [[Loi de composition interne|loi interne]] intervenant dans la définition d'un [[espace vectoriel]]. Deux [[vecteur|vecteurs]] ''u'' et ''v'' d'un même espace vectoriel ''E'' peuvent être additionnés et la somme vaut ''u''+''v''.
 Si <math>\mathbf{K}</math> est un corps commutatif, la définition d'un [[espace vectoriel]] E sur <math>\mathbb{K}</math> prévoit l'existence d'une loi interne, une application de <math>E\times E</math> dans <math>E</math>. L'image d'un couple de vecteurs (''u'',''v''), noté en général ''u''+''v'', est la '''somme des deux vecteurs''' ''u'' et ''v''. Comme cas particulier, E peut être pris égal à <math>\mathbb{K}</math> lui-même, et la somme vectorielle revient tout simplement à additionner des scalaires. Quand ''E'' est égal à <math>\mathbb{K}^n</math>, alors la somme vectorielle est celle définie composante par composante.