Ordre moyen d'une fonction arithmétique

En théorie des nombres, un ordre moyen d'une fonction arithmétique f est une fonction «simple» g approchant f en moyenne.

Plus précisément un ordre moyen de f est une fonction g réelle ou complexe, si possible continue et monotone, telle qu'on ait :

$\sum _{k=1}^{n}f(k)\quad {\underset {n\to +\infty }{\sim }}\quad \sum _{k=1}^{n}g(k)$

Autrement dit, les moyennes arithmétiques ou moyennes de Cesàro de f et g entre 1 et n, ou encore valeurs moyennes de f et g sont asymptotiquement équivalentes. Une telle fonction g n'est bien entendu pas unique.

Il ne faut pas confondre un équivalent asymptotique de la valeur moyenne ${\frac {1}{n}}{\sum _{k=1}^{n}f(k)}$ avec un ordre moyen.

Par exemple, pour $f(k):=k$, un équivalent asymptotique de la valeur moyenne, égale à $(n+1)/2$, est $n/2$, mais la fonction $g(k):=k/2$ n’est pas un ordre moyen de $f$.

Mais on peut aussi avoir égalité : $g(n):=\ln n$ est à la fois un ordre moyen de la fonction $f=\ln$ et un équivalent de sa valeur moyenne, égale à ${\frac {\ln n!}{n}}$^[pas clair].

Dans le cas particulier où la limite

$$\lim _{n\to \infty }{\frac {1}{n}}\sum _{k\leq n}f(k)=c$$

existe, on dit que $f$ possède la valeur moyenne $c$. Si de plus $c\not =0$, la fonction $g(x)=c$ est un ordre moyen de $f$.

Exemples

"Courbe" de la somme des diviseurs σ(n), avec l'ordre moyen $n\pi ^{2}/6$ en rouge, n+1 correspondant aux nombres premiers en vert, et 2n correspondant aux nombres parfaits en jaune.

• Un ordre moyen du plus grand diviseur impair de n est 2n/3
• Un ordre moyen de d(n), nombre de diviseurs de n, est ln(n)
• Un ordre moyen de σ(n), somme des diviseurs de n, est ${\frac {\pi ^{2}}{6}}n$
• Un ordre moyen de φ(n), indicatrice d'Euler de n, est ${\frac {6}{\pi ^{2}}}n$
• Un ordre moyen de ω(n), nombre de facteurs premiers distincts de n, est ln(ln(n))
• Un ordre moyen de Ω(n), nombre de facteurs premiers de n, est ln(ln(n))
• Un ordre moyen de r(n), nombre de façon d'exprimer n comme somme de deux carrés, est π.
• Le théorème des nombres premiers équivaut au fait que la fonction de von Mangoldt Λ(n) a pour ordre moyen 1, et au fait que la fonction de Möbius μ(n) a pour valeur moyenne 0.

Meilleur ordre moyen

Cette notion peut être présentée à l'aide de l'exemple du nombre de diviseurs. De la formule de Dirichlet  :

$\sum _{n\leqslant x}{\text{d}}(n)=x\ln x+(2\gamma -1)x+o(x)$

($\gamma$ est la constante d'Euler-Mascheroni) et de la formule de Stirling :

$\sum _{n\leqslant x}\ln n=x\ln x-x+o(x),$

on tire la relation asymptotique

$\sum _{n\leqslant x}({\text{d}}(n)-(\ln n+2\gamma ))=o(x),$

tandis que

$\sum _{n\leqslant x}({\text{d}}(n)-\ln n)=O(x),$

ce qui suggère que ln(n) + 2γ est un meilleur choix d'ordre moyen pour d(n) que simplement ln(n) (c'est un cas particulier de développement asymptotique).

Références

• (en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Average order of an arithmetic function » (voir la liste des auteurs).

• (en) G. H. Hardy et E. M. Wright, An Introduction to the Theory of Numbers (1^re éd. 1938) [détail des éditions], 6ème édition 2008, chapitres XVIII et XXII.
• G. H. Hardy et E.M. Wright (trad. François Sauvageot), Introduction à la théorie des nombres, Vuibert et Springer, 2007
• (en) Gérald Tenenbaum, Introduction to Analytic and Probabilistic Number Theory, AMS, coll. « Graduate Studies in Mathematics » (n^o 163), 2015 (ISBN 9780821898543), p. 43–65

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Identités liées aux sommes de diviseurs