Équation différentielle

En mathématiques, une équation différentielle est une équation dont la ou les « inconnue(s) » sont des fonctions ; elle se présente sous la forme d'une relation entre ces fonctions inconnues et leurs dérivées successives. C'est un cas particulier d'équation fonctionnelle.

Une équation différentielle permet de modéliser des situations très diverses dans lesquelles la vitesse de variation d'une quantité est proportionnelle à cette même quantité. En physique on peut notamment grâce aux équations différentielles modéliser le nombre de noyaux instables à un instant précis grâce à la loi de décroissance radioactive ou encore modéliser l'évolution de la température d'un système incompressible en fonction du temps avec la loi de refroidissement Newton en thermodynamique.

On distingue généralement deux types d'équations différentielles :

• les équations différentielles ordinaires (EDO) où la ou les fonctions inconnues recherchées ne dépendent que d'une seule variable ;
• les équations différentielles partielles, plutôt appelées équations aux dérivées partielles (EDP), où la ou les fonctions inconnues recherchées peuvent dépendre de plusieurs variables indépendantes.

Sans plus de précision, le terme équation différentielle fait le plus souvent référence aux équations différentielles ordinaires. Et il y a l'équation différentielle raide dont la sensibilité aux paramètres va rendre difficile la résolution par des méthodes numériques explicites.

On rencontre également d'autres types d'équations différentielles (liste non exhaustive) :

• les équations intégro-différentielles qui font intervenir les dérivées de fonction(s) et ses/leurs intégrale(s) ou « primitives » ;
• les équations différentielles holomorphes (EDH) où la ou les fonctions inconnues dépendent d'une seule variable complexe ;
• les équations différentielles stochastiques (EDS) où un ou plusieurs termes de l'équation différentielle sont des processus stochastiques ;
• les équations différentielles abstraites (en) (EDA) où les fonctions inconnues et leurs dérivées prennent leurs valeurs dans des espaces fonctionnels abstraits (espace de Hilbert, espace de Banach, etc.) ;
• les équations différentielles à retard (EDR) dans lesquelles la dérivée de la fonction inconnue à un moment donné est exprimée selon les valeurs de la fonction aux temps précédents.

La théorie de Galois différentielle étudie les équations différentielles à l'aide de méthodes algébriques.

Article connexe

• Parcours des équations différentielles

Liens externes

• (en) Eric W. Weisstein, « Differential Equation », sur MathWorld
• (fr) Quelques situations modélisables par des équations différentielles, sur l'Université des sciences en ligne